筑波大学理工情報生命学術院システム情報工学研究群情報理工学位プログラム問題例解析学

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

問1 次の極限の値を選択肢から選べ。

\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x-\sin x}.

① $1$ 、② $2$ 、③ $3$ 、④ $6$ 、⑤ $0$ 、⑥ $-6$ 、⑦ $-3$ 、⑧ $-2$ 、⑨ $-1$ 。

問2 次の重積分の値を選択肢から選べ。

\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{dx\,dy}{(1+x^2)(1+y^2)}.

① $1$ 、② $1/3$ 、③ $1/4$ 、④ $0$ 、⑤ $\pi/4$ 、⑥ $\pi^2/4$ 、⑦ $\pi$ 、⑧ $2\pi$ 、⑨ $\pi^2$ 。

分别求极限 $\lim_{x\to0}x^3/(x-\sin x)$ ，以及第一象限上的广义二重积分 $\int_0^\infty\int_0^\infty[(1+x^2)(1+y^2)]^{-1}\,dx\,dy$ ，并选择日文题面中对应的选项。

$\sin x=x-x^3/6+O(x^5)$ より、

\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x-\sin x} =\lim_{x\to0}\frac1{1/6+O(x^2)}=\boxed{6\text{（④）}}.

被積分関数は非負で、各一変数積分は収束するから、

\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{dx\,dy}{(1+x^2)(1+y^2)} =\left([\arctan x]_0^\infty\right)^2 =\boxed{\frac{\pi^2}{4}\text{（⑥）}}.