筑波大学理工情報生命学術院システム情報工学研究群情報理工学位プログラム問題例解析学

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

問1 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x-\sin x}$ の答えを以下から選びなさい。

① $1$ 、② $2$ 、③ $3$ 、④ $6$ 、⑤ $0$ 、⑥ $-6$ 、⑦ $-3$ 、⑧ $-2$ 、⑨ $-1$

問2 $\displaystyle\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{dx\,dy}{(1+x^2)(1+y^2)}$ の答えを以下から選びなさい。

① $1$ 、② $\dfrac13$ 、③ $\dfrac14$ 、④ $0$ 、⑤ $\dfrac\pi4$ 、⑥ $\dfrac{\pi^2}4$ 、⑦ $\pi$ 、⑧ $2\pi$ 、⑨ $\pi^2$

问1 从以下选项中选择 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x-\sin x}$ 的答案。

① $1$ 、② $2$ 、③ $3$ 、④ $6$ 、⑤ $0$ 、⑥ $-6$ 、⑦ $-3$ 、⑧ $-2$ 、⑨ $-1$

问2 从以下选项中选择 $\displaystyle\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{dx\,dy}{(1+x^2)(1+y^2)}$ 的答案。

① $1$ 、② $\dfrac13$ 、③ $\dfrac14$ 、④ $0$ 、⑤ $\dfrac\pi4$ 、⑥ $\dfrac{\pi^2}4$ 、⑦ $\pi$ 、⑧ $2\pi$ 、⑨ $\pi^2$

$\sin x=x-x^3/6+O(x^5)$ より、

\begin{gathered} \lim_{x\to0}\frac{x^3}{x-\sin x} =\lim_{x\to0}\frac1{1/6+O(x^2)}\\ =\boxed{6\text{（④）}}. \end{gathered}

被積分関数は非負で、各一変数積分は収束するから、

\begin{gathered} \int_0^\infty\int_0^\infty\frac{dx\,dy}{(1+x^2)(1+y^2)} =\left([\arctan x]_0^\infty\right)^2\\ =\boxed{\frac{\pi^2}{4}\text{（⑥）}}. \end{gathered}