筑波大学理工情報生命学術院システム情報工学研究群情報理工学位プログラム問題例

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\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - \cos x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x} \\ &= 6 \end{align}

\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \frac{d \theta}{\cos^2 \theta} \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \tan \theta ) \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} d \theta \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \therefore \ \ \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{dx dy}{(1+x^2)(1+y^2)} &= \frac{\pi^2}{4} \end{align}

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

\begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (\lambda-3)(\lambda+1) \end{align}

なので、

\begin{align} \lambda_1 = 3 , \ \ \lambda_2 = -1 \end{align}

である。

固有値 $\lambda_1=3$ に属する固有ベクトルを求めるため

\begin{align} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}

とおくと $x=y$ を得る。

固有値 $\lambda_2=-1$ に属する固有ベクトルを求めるため

\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}

とおくと $x+y=0$ を得る。

よって、

\begin{align} X = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{align}

である。

与えられた関数 selection_sort を selection_sort(5, [3,5,2,1,4]) のように呼び出すと、結果は

となる。