筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 情報理工学位プログラム 問題例

标签：

• Tsukuba-University
• LHopital-Rule
• Improper-Integral
• Integration-by-Substitution
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Orthogonal-Diagonalization-of-Symmetric-Matrices
• Selection-Sort

Author

Miyake

Description

题目描述

当前文件的原始题目描述为空，无法从现有内容中完整复原题目例题的具体条件与设问。根据文件标签及下方解答可以确认，这组信息理工学位项目的例题包含以下内容：使用洛必达法则计算极限，计算广义积分并进行积分换元；求矩阵的特征值与特征向量，并对实对称矩阵作正交对角化；以及分析或补全选择排序算法。作答时应以原例题中给出的函数、积分区间、矩阵、数组和程序框架为准，逐问写出计算过程或程序逻辑。

Kai

解析学

問 1

$$\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - \cos x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x} \\ &= 6 \end{align}$$

問 2

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \frac{d \theta}{\cos^2 \theta} \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \tan \theta ) \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} d \theta \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \therefore \ \ \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{dx dy}{(1+x^2)(1+y^2)} &= \frac{\pi^2}{4} \end{align}$$

線形代数

問 1

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (\lambda-3)(\lambda+1) \end{align}$$

なので、

$$\begin{align} \lambda_1 = 3 , \ \ \lambda_2 = -1 \end{align}$$

である。

問 2

固有値 $\lambda_1=3$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{align} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$$

とおくと $x=y$ を得る。

固有値 $\lambda_2=-1$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$$

とおくと $x+y=0$ を得る。

よって、

$$\begin{align} X = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$$

である。

離散数学と論理

プログラミング基礎

与えられた関数 selection_sort を selection_sort(5, [3,5,2,1,4]) のように呼び出すと、結果は

3 5 2 1 4
1 5 2 3 4
1 2 5 3 4
1 2 3 5 4

となる。