筑波大学理工情報生命学術院システム情報工学研究群情報理工学位プログラム問題例

标签：

Author

Description

题目描述

当前文件的原始题目描述为空，无法从现有内容中完整复原题目例题的具体条件与设问。根据文件标签及下方解答可以确认，这组信息理工学位项目的例题包含以下内容：使用洛必达法则计算极限，计算广义积分并进行积分换元；求矩阵的特征值与特征向量，并对实对称矩阵作正交对角化；以及分析或补全选择排序算法。作答时应以原例题中给出的函数、积分区间、矩阵、数组和程序框架为准，逐问写出计算过程或程序逻辑。

考点

极限与洛必达法则：判断适用条件并通过求导计算未定式极限。
广义积分与积分换元：处理瑕点或无穷区间，并选取合适的变量代换。
特征值与特征向量：由特征方程求谱及相应特征空间。
实对称矩阵的正交对角化：构造标准正交特征向量组与正交变换矩阵。
选择排序：理解每轮选择最小（或最大）元素并交换到目标位置的算法流程与复杂度。

Kai

解析学

問 1

\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - \cos x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x} \\ &= 6 \end{align}

問 2

\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \frac{d \theta}{\cos^2 \theta} \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \tan \theta ) \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} d \theta \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \therefore \ \ \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{dx dy}{(1+x^2)(1+y^2)} &= \frac{\pi^2}{4} \end{align}

線形代数

問 1

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

\begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (\lambda-3)(\lambda+1) \end{align}

なので、

\begin{align} \lambda_1 = 3 , \ \ \lambda_2 = -1 \end{align}

である。

問 2

固有値 $\lambda_1=3$ に属する固有ベクトルを求めるため

\begin{align} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}

とおくと $x=y$ を得る。

固有値 $\lambda_2=-1$ に属する固有ベクトルを求めるため

\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}

とおくと $x+y=0$ を得る。

よって、

\begin{align} X = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{align}

である。

離散数学と論理

プログラミング基礎

与えられた関数 selection_sort を selection_sort(5, [3,5,2,1,4]) のように呼び出すと、結果は

となる。

Author​

Description​

题目描述​

考点​

Kai​

解析学​

問 1​

問 2​

線形代数​