筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2024年8月実施 微积分

标签：

• Tsukuba-University
• Taylor-Series
• Gamma-Function
• Integration-by-Parts
• Limit

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

以下の問 (1) 及び (2) に答えよ。

(1) 実数関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} (x > -1)$ とする。 $f^{(n)}(x) (n = 1, 2, ...)$ は $f(x)$ の $n$ 階導関数である。以下の問に答えよ。

(a) 次の値をそれぞれ求めよ。

i) $f^{(1)}(0)$

ii) $f^{(2)}(0)$

iii) $f^{(3)}(0)$

(b) 次の極限を求めよ。

i) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x^{1/3}) - 1 + \frac{1}{2}x^{1/3}}{x^{2/3}}$

ii) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{2}x^{1/3} + \frac{3}{8}x^{2/3} - f(x^{1/3})}{x}$

(2) 実数関数 $g(x)$ は以下のように定義される。

$$g(x) = \begin{cases} xe^{-x^2/2} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$$

以下の問に答えよ。ただし、 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi}$ を証明なしで使ってもよい。

(a) $\int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx$ を求めよ。

(b) $\int_{-\infty}^{\infty} xg(x) dx$ を求めよ。

(c) $\int_{-\infty}^{\infty} x^2g(x) dx$ を求めよ。

(d) 自然数 $n \geq 1$ に対して、 $\mu_n = \int_{-\infty}^{\infty} x^n g(x) dx$ とする。次の値を求めよ。

i) $\mu_{2n}$

ii) $\mu_{2n+1}$

题目描述

完成以下两题。

1. 对 $x>-1$，定义

   $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}},$$

   并以 $f^{(n)}(x)$ 表示其 $n$ 阶导数，其中 $n=1,2,\ldots$。

   1. 分别求

      $$\text{(i)}\ f^{(1)}(0),\qquad \text{(ii)}\ f^{(2)}(0),\qquad \text{(iii)}\ f^{(3)}(0).$$

   2. 分别求

      $$\text{(i)}\quad \lim_{x\to0} \frac{f(x^{1/3})-1+\frac12x^{1/3}}{x^{2/3}},$$
      $$\text{(ii)}\quad \lim_{x\to0} \frac{ 1-\frac12x^{1/3}+\frac38x^{2/3}-f(x^{1/3}) }{x}.$$

2. 定义实函数

   $$g(x)= \begin{cases} xe^{-x^2/2},&x\geq0,\\ 0,&x<0. \end{cases}$$

   可以不加证明地使用

   $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}.$$

   回答：

   1. 求 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,dx$；

   2. 求 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xg(x)\,dx$；

   3. 求 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x^2g(x)\,dx$；

   4. 对自然数 $n\geq1$，定义

      $$\mu_n=\int_{-\infty}^{+\infty}x^ng(x)\,dx.$$

      分别求

      $$\text{(i)}\ \mu_{2n},\qquad \text{(ii)}\ \mu_{2n+1}.$$

Kai

(1) (a) i) $f(x)=(1+x)^{-1/2}$ とすると，

$$f'(x) =-\frac12(1+x)^{-3/2}, \qquad f'(0)=-\frac12$$

ii)

$$f''(x) =\frac34(1+x)^{-5/2}, \qquad f''(0)=\frac34$$

iii)

$$f'''(x) =-\frac{15}{8}(1+x)^{-7/2}, \qquad f'''(0)=-\frac{15}{8}$$

(b) i) $f(x)=(1+x)^{-1/2}$ のテイラー展開より

$$f(x) =1-\frac12 x+\frac38 x^2+O(x^3)$$

が成り立つ。 したがって

$$f(x^{1/3}) =1-\frac12 x^{1/3} +\frac38 x^{2/3} +O(x)$$

である。

よって

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{ f(x^{1/3})-1+\frac12 x^{1/3} }{x^{2/3}} &= \lim_{x\to 0} \frac{ \frac38 x^{2/3}+O(x) }{x^{2/3}} \\ &=\frac38 \end{aligned}$$

ii) 再びテイラー展開を用いると

$$f(x^{1/3}) = 1-\frac12 x^{1/3} +\frac38 x^{2/3} -\frac{5}{16}x +O(x^{4/3})$$

である。

したがって

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{ 1-\frac12 x^{1/3} +\frac38 x^{2/3} -f(x^{1/3}) }{x} &= \lim_{x\to 0} \frac{ \frac{5}{16}x+O(x^{4/3}) }{x} \\ &=\frac{5}{16} \end{aligned}$$

(2) (a)

$$\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,dx = \int_{-\infty}^{0}0\,dx +\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2/2}\,dx = \int_{0}^{\infty} x e^{-x^2/2}\,dx$$

ここで $u=\frac{x^2}{2}$ とおくと $du=x\,dx$ であるから，

$$\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2/2}\,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = [-e^{-u}]_{0}^{\infty} =1$$

(b)

$$\int_{-\infty}^{\infty} xg(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2/2}\,dx$$

とおく。 $I=\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2/2}\,dx$ として部分積分を行う。

$u=x,\ dv=xe^{-x^2/2}dx$ とすると， $du=dx,\ v=-e^{-x^2/2}$ である。

よって

$$\begin{aligned} I &= [-x e^{-x^2/2}]_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx \\ &= \frac12 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \frac12\sqrt{2\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{aligned}$$

(c)

$$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 g(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2/2}\,dx$$

$u=\frac{x^2}{2}$ とおくと， $x^2=2u,\ du=x\,dx$ であるから

$$\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2/2}\,dx = \int_{0}^{\infty} 2u e^{-u}\,du = 2\Gamma(2) =2$$

(d) i)

$$\mu_{2n} = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} g(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} x^{2n+1} e^{-x^2/2}\,dx$$

$u=\frac{x^2}{2}$ とすると $x^{2n}=(2u)^n$ であるから

$$\mu_{2n} = 2^n \int_{0}^{\infty} u^n e^{-u}\,du = 2^n \Gamma(n+1) = 2^n n!$$

ii)

$$\mu_{2n+1} = \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n+1} g(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} x^{2n+2} e^{-x^2/2}\,dx$$

$I=\int_{0}^{\infty} x^{2n+2} e^{-x^2/2}\,dx$ とし， $u=x^{2n+1},\ dv=xe^{-x^2/2}dx$ として部分積分を行う。

すると

$$I = (2n+1) \int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-x^2/2}\,dx$$

この操作を繰り返すことで

$$\mu_{2n+1} = (2n+1)(2n-1)\cdots 3\cdot 1 \sqrt{\frac{\pi}{2}} = \frac{(2n+1)!}{2^n n!} \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$

を得る。