筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2024年2月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

以下の問 (1) 及び (2) に答えよ.

(1) 実数関数 $f(x) = \exp(x^2/2) (x \in \mathbb{R})$ とする. $f^{(n)}(x) (n = 1,2,...)$ は $f(x)$ の $n$ 階導関数である. ただし, $f^{(0)}(x) = f(x)$ とする. 以下の問いに答えよ.

(a) 次式を示せ.

i) $f^{(1)}(x) = xf(x)$ ,

ii) $f^{(2)}(x) = x f^{(1)}(x) + f(x)$ .

(b) 任意の自然数 $n$ について、次式を示せ.

$$f^{(n+1)}(x) = x f^{(n)}(x) + n f^{(n-1)}(x).$$

(c) 次の値を求めよ.

i) $f^{(2023)}(0)$ ,

ii) $f^{(2024)}(0)$ .

(d) 次の極限を求めよ.

i) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 1 - x^2/2}{x^4}$ ,

ii) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 1 - x^2/2 - x^4/8}{x^6}$ .

(2) 実数関数 $g(x)$ は以下のように定義される.

$$g(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp(-\frac{1}{2} (\ln x)^2) & (x > 0), \\ 0 & (x \leq 0). \end{cases}$$

以下の問いに答えよ. ただし、 $\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2/2) dx = \sqrt{2\pi}$ を証明なしで使ってもよい.

(a) $\int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx$ を求めよ.

(b) $\int_{-\infty}^{\infty} x g(x) dx$ を求めよ.

(c) $\int_{-\infty}^{\infty} x^n g(x) dx$ を求めよ. ただし、 $n$ は自然数である.

题目描述

完成以下两题。

1. 定义

   $$f(x)=e^{x^2/2}\qquad(x\in\mathbb R),$$

   以 $f^{(n)}(x)$ 表示 $n$ 阶导数，其中 $n=1,2,\ldots$，并约定 $f^{(0)}(x)=f(x)$。

   1. 证明

      $$\text{(i)}\ f^{(1)}(x)=xf(x),\qquad \text{(ii)}\ f^{(2)}(x)=xf^{(1)}(x)+f(x).$$

   2. 对任意自然数 $n$，证明递推式

      $$f^{(n+1)}(x) =xf^{(n)}(x)+nf^{(n-1)}(x).$$

   3. 分别求

      $$\text{(i)}\ f^{(2023)}(0),\qquad \text{(ii)}\ f^{(2024)}(0).$$

   4. 分别求极限

      $$\text{(i)}\quad \lim_{x\to0} \frac{f(x)-1-x^2/2}{x^4},$$
      $$\text{(ii)}\quad \lim_{x\to0} \frac{f(x)-1-x^2/2-x^4/8}{x^6}.$$

2. 定义实函数

   $$g(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,x} \exp\!\left(-\dfrac12(\ln x)^2\right),&x>0,\\[6pt] 0,&x\leq0. \end{cases}$$

   可以不加证明地使用

   $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}.$$

   计算：

   1. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,dx$；
   2. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xg(x)\,dx$；
   3. 对自然数 $n$，求 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x^ng(x)\,dx$。

Kai

(1) (a) i) $f(x)=e^{\frac{x^2}{2}}$ とする。 このとき

$$f'(x) =e^{\frac{x^2}{2}}\cdot x =xf(x)$$

ii)

$$f''(x) =(xf(x))' =f(x)+x f'(x) =f(x)+x(xf(x))$$

(b) 次を示す：

$$f^{(n+1)}(x) = x f^{(n)}(x) + n f^{(n-1)}(x)$$

（数学的帰納法による証明）

基底： $n=1$ のとき，

$$f^{(2)}(x) = x f'(x) + f(x)$$

であり，(a)ii) より成り立つ。

帰納法の仮定として，

$$f^{(k+1)}(x) = x f^{(k)}(x) + k f^{(k-1)}(x)$$

が成り立つと仮定する。

このとき

$$\begin{aligned} f^{(k+2)}(x) &= (f^{(k+1)}(x))' \\ &= (x f^{(k)}(x) + k f^{(k-1)}(x))' \\ &= f^{(k)}(x) + x f^{(k+1)}(x) + k f^{(k)}(x) \\ &= x f^{(k+1)}(x) + (k+1) f^{(k)}(x) \end{aligned}$$

となり，帰納法が完了する。

(c) i) $f^{(2023)}(0)$ ， ii) $f^{(2024)}(0)$ を求める。

漸化式

$$f^{(n+1)}(x) = x f^{(n)}(x) + n f^{(n-1)}(x)$$

より，

$$f^{(n+1)}(0) = n f^{(n-1)}(0)$$

が成り立つ。

これより， $n$ が奇数のとき $f^{(n)}(0)=0$ ， $n$ が偶数のとき $f^{(n)}(0)\neq 0$ である。

実際，

$$f'(0)=0,\quad f''(0)=1,\quad f'''(0)=0,\quad f^{(4)}(0)=3$$

であり， 一般に

$$f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0 & (n\text{ が奇数}) \\ (n-1)!! & (n\text{ が偶数}) \end{cases}$$

したがって

$$f^{(2023)}(0)=0,\qquad f^{(2024)}(0)=2023!!$$

(d) 指数関数の展開

$$e^x =1+x+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

より

$$e^{\frac{x^2}{2}} =1+\frac{x^2}{2} +\frac{x^4}{8} +\frac{x^6}{48}+\cdots$$

i)

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-1-\frac{x^2}{2}}{x^4} &= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^4}{8} +\frac{x^6}{48}+\cdots}{x^4} \\ &=\frac18 \end{aligned}$$

ii)

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}}{x^6} &= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^6}{48}+\cdots}{x^6} \\ &=\frac{1}{48} \end{aligned}$$

(2) 実数関数 $g(x)$ を

$$g(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\!\left(-\dfrac12(\ln x)^2\right) & (x>0),\\ 0 & (x\le 0) \end{cases}$$

で定義する。

(a)

$$\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\!\left(-\dfrac12(\ln x)^2\right)\,dx$$

$u=\ln x$ とおくと $dx=e^u du$ であるから，

$$= \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 u^2}\,du =1$$

(b)

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} x g(x)\,dx &= \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\dfrac12(\ln x)^2\right)\,dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 u^2}e^u\,du \end{aligned}$$

平方完成より

$$= e^{\frac12} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 (u-1)^2}\,du = \sqrt{e}$$

(c)

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} x^n g(x)\,dx &= \int_{0}^{\infty} x^{n-1} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\dfrac12(\ln x)^2\right)\,dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{nu} e^{-\frac12 u^2}\,du \end{aligned}$$

平方完成により

$$= e^{\frac{n^2}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 (u-n)^2}\,du = e^{\frac{n^2}{2}}$$

となる。