筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2024年2月実施 线性代数

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• Linear-Transformation
• Matrix-Inverse

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

次の $3 \times 3$ の実対称行列 $A$ を考える。

$$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$

また，線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ を $f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ と定義する。ここで， $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3$ は 3 次元列ベクトルである。 以下の問 (1)-(5) に答えよ。 (1) $f$ の合成写像 $g$ を次のように与える。

$$g(\mathbf{x}) = f \circ f(\mathbf{x}) = f(f(\mathbf{x})).$$

この合成写像は $g(\mathbf{x}) = B\mathbf{x}$ と表すことができる。行列 $B$ を行列 $A$ を用いて表せ。 (2) 以下の $v_1, v_2, v_3$ は行列 $A$ の固有ベクトルである。

$$v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

各ベクトルに対応する固有値をそれぞれ答えよ。 (3) 行列 $P$ を (2) の $v_1, v_2, v_3$ を用いて次のように定義する。

$$P = (v_1, v_2, v_3) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

この行列の逆行列 $P^{-1}$ は，ある行列 $X$ を用いて $P^{-1} = X {}^tP$ と表わされる。行列 $X$ を求めよ。ただし， ${}^tP$ は $P$ の転置行列である。 (4) 実数パラメータ $a, b, c$ を用いて, ベクトル $\mathbf{x}$ が $\mathbf{x} = av_1 + bv_2 + cv_3$ と表されるとき,

$$A\mathbf{x} = PY \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$

を満たす行列 $Y$ を求めよ。ただし, $v_1, v_2, v_3$ および $P$ は (2)-(3) で用いたベクトルおよび行列である。

(5) $f$ を 5 回合成した写像 $h(\mathbf{x}) = f \circ f \circ f \circ f \circ f(\mathbf{x}) = f(f(f(f(f(\mathbf{x})))))$ は, (3) の行列 $P$ を用いて $h(\mathbf{x}) = (PZ {}^tP) \mathbf{x}$ と表すことができる。行列 $Z$ を求めよ。

题目描述

给定 $3\times3$ 实对称矩阵

$$A=\begin{pmatrix} -1&-1&1\\ -1&1&-1\\ 1&-1&-1 \end{pmatrix},$$

并定义线性映射

$$f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3,\qquad f(\mathbf x)=A\mathbf x,$$

其中 $\mathbf x$ 是三维列向量。回答下列问题：

1. 定义 $f$ 与自身的复合映射

   $$g(\mathbf x)=f\circ f(\mathbf x)=f(f(\mathbf x)).$$

   若 $g(\mathbf x)=B\mathbf x$，用 $A$ 表示矩阵 $B$。

2. 已知

   $$v_1=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$

   都是 $A$ 的特征向量，分别求它们对应的特征值。

3. 令

   $$P=(v_1,v_2,v_3) =\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 0&1&-2\\ 1&1&1 \end{pmatrix}.$$

   已知 $P^{-1}$ 可写成

   $$P^{-1}=X\,{}^tP,$$

   其中 ${}^tP$ 是 $P$ 的转置矩阵。求矩阵 $X$。

4. 若实参数 $a,b,c$ 使

   $$\mathbf x=av_1+bv_2+cv_3,$$

   求满足

   $$A\mathbf x =PY\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$

   的矩阵 $Y$。

5. 将 $f$ 连续复合五次，得到

   $$h(\mathbf x) =f\circ f\circ f\circ f\circ f(\mathbf x) =f(f(f(f(f(\mathbf x))))).$$

   已知可用第 3 问的 $P$ 写成

   $$h(\mathbf x)=(PZ\,{}^tP)\mathbf x.$$

   求矩阵 $Z$。

Kai

(1) $g(x)=f(f(x))$ であり， $f(x)=Ax$ なので

$$g(x)=A(Ax)=A^2x$$

よって $g(x)=Bx$ と書けば $B=A^2$ である。 実際に計算すると

$$B=A^2= \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1\\ -1 & 3 & -1\\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.$$

(2) 各ベクトルに対し $Av_i=\lambda_i v_i$ を計算する。

$$Av_1= \begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix} =-2\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} \Rightarrow \lambda_1=-2, \quad Av_2= \begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix} =-1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \Rightarrow \lambda_2=-1,$$

$$Av_3= \begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} \Rightarrow \lambda_3=2.$$

(3) (2)より $v_1,v_2,v_3$ は互いに直交するので，

$$P^{\mathsf T}P= \mathrm{diag}(\|v_1\|^2,\|v_2\|^2,\|v_3\|^2) = \mathrm{diag}(2,3,6).$$

したがって

$$P^{-1} = \mathrm{diag}\!\left(\frac12,\frac13,\frac16\right)P^{\mathsf T}.$$

ゆえに $P^{-1}=X\,{}^{\mathsf T}\!P$ を満たす行列は

$$X= \mathrm{diag}\!\left(\frac12,\frac13,\frac16\right).$$

(4) $x=av_1+bv_2+cv_3=P\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ とすると

$$Ax =a(-2)v_1+b(-1)v_2+c(2)v_3 = P \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.$$

よって

$$Y= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$

(5) $h(x)=f^{\circ 5}(x)=A^5x$ であり，

$$A^5 =P\,\mathrm{diag}((-2)^5,(-1)^5,2^5)\,P^{-1} = P\,\mathrm{diag}(-32,-1,32)\,X\,P^{\mathsf T}.$$

したがって $h(x)=(PZ\,{}^{\mathsf T}\!P)x$ の形にすると

$$Z=\mathrm{diag}(-32,-1,32)\,X = \mathrm{diag}\!\left( -16,\,-\frac13,\,\frac{16}{3} \right).$$