筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2023年8月実施 线性代数

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• Orthogonal-Matrix
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Linear-Transformation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

以下の問 [1] 及び [2] に答えよ。

[1] 平面 $\mathbb{R}^2$ 上の 3 点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (1, 1)$ は一直線上の点でないとする。 $x_1, x_2, 1$ が互いに相異なる実数であるとき，以下の問 (1.1)−(1.3) に答えよ。

(1.1)

$$\begin{vmatrix} x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$$

を示せ。

(1.2)

$$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$$

を示せ。

(1.3) 3 点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (1, 1)$ を通る曲線が $y = ax^2 + bx + c$ となる条件と

$$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$$

の関係を理由とともに説明せよ。

[2] 2 次形式 $5x^2 + 5y^2 + 2z^2 + 8xy + 4xz + 4yz$ について，以下の問 (2.1)−(2.3) に答えよ。

(2.1) $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ とするとき， $5x^2 + 5y^2 + 2z^2 + 8xy + 4xz + 4yz = {}^t\mathbf{x}A\mathbf{x}$ となる対称行列 $A$ を求めよ。ただし， ${}^t\mathbf{x}$ は $\mathbf{x}$ の転置である。

(2.2) $D = P^{-1}AP$ となる直交行列 $P$ と対角行列 $D$ を求めよ。

(2.3) $\mathbf{x} = P\mathbf{x}', \mathbf{x}' = \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}$ とおいて，2 次形式 $5x^2 + 5y^2 + 2z^2 + 8xy + 4xz + 4yz$ の標準形を求めよ。

题目描述

完成以下两组问题。

[1] 三点插值与行列式

平面 $\mathbb R^2$ 上的三点

$$(x_1,y_1),\qquad(x_2,y_2),\qquad(1,1)$$

不在同一直线上，并且 $x_1,x_2,1$ 是两两不同的实数。

1. 证明

   $$\begin{vmatrix} x_1^2&x_1&1\\ x_2^2&x_2&1\\ 1&1&1 \end{vmatrix}\neq0.$$

2. 证明

   $$\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ 1&1&1 \end{vmatrix}\neq0.$$

3. 考虑通过上述三点的插值曲线

   $$y=ax^2+bx+c.$$

   说明该曲线为真正的二次曲线（即 $a\neq0$）这一条件，与

   $$\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ 1&1&1 \end{vmatrix}\neq0$$

   之间的关系，并给出理由。

[2] 二次型的正交对角化

给定二次型

$$5x^2+5y^2+2z^2+8xy+4xz+4yz.$$

1. 对

   $$\mathbf x=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},$$

   求使

   $$5x^2+5y^2+2z^2+8xy+4xz+4yz ={}^t\mathbf x A\mathbf x$$

   成立的对称矩阵 $A$，其中 ${}^t\mathbf x$ 表示转置。

2. 求一个直交矩阵 $P$ 和一个对角矩阵 $D$，使

   $$D=P^{-1}AP.$$

3. 令

   $$\mathbf x=P\mathbf x',\qquad \mathbf x'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix},$$

   求该二次型在新坐标下的标准形。

Kai

[1] (1.1)

$$\Delta = \begin{vmatrix} x_1^2 & x_1 & 1\\ x_2^2 & x_2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

とおく。第3行を用いて行基本変形をすると

$$\Delta = \begin{vmatrix} x_1^2-1 & x_1-1 & 0\\ x_2^2-1 & x_2-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_1^2-1 & x_1-1\\ x_2^2-1 & x_2-1 \end{vmatrix}.$$

よって

$$\begin{aligned} \Delta &=(x_1^2-1)(x_2-1)-(x_2^2-1)(x_1-1)\\ &=(x_1-1)(x_2-1)\bigl((x_1+1)-(x_2+1)\bigr)\\ &=(x_1-x_2)(x_1-1)(x_2-1). \end{aligned}$$

仮定より $x_1,x_2,1$ は互いに異なるので，

$$\Delta\neq 0$$

が成り立つ。

(1.2)

$$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$$

は，3点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(1,1)$ が同一直線上にないことと同値である。 問題文で「一直線上にない」と仮定しているので，この行列式は $0$ ではない。

(1.3) 3点を通る $y=ax^2+bx+c$ を求めるには

$$\begin{pmatrix} x_1^2 & x_1 & 1\\ x_2^2 & x_2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ 1 \end{pmatrix}$$

を解けばよい。(1.1)より係数行列の行列式は $0$ でないから， $(a,b,c)$ は一意に定まる。

さらにクラメルの公式より

$$a= \frac{ \begin{vmatrix} y_1 & x_1 & 1\\ y_2 & x_2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} x_1^2 & x_1 & 1\\ x_2^2 & x_2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} }.$$

したがって

$$a\neq 0 \iff \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \neq 0.$$

すなわち，3点が同一直線上にないときに限り $a\neq 0$ となり， 「直線ではない」二次曲線 $y=ax^2+bx+c$ が得られる。

[2] (2.1)

$$Q=5x^2+5y^2+2z^2+8xy+4xz+4yz$$

とする。 $x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ に対し

$$Q=x^{\mathsf T}Ax$$

となる対称行列は

$$A= \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2\\ 4 & 5 & 2\\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}.$$

(2.2) まず

$$u_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$

とおくと

$$Au_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=1\cdot u_1$$

より固有値は $1$ である。

次に $x=y$ の形を考え，

$$u=\begin{pmatrix}1\\1\\t\end{pmatrix}$$

とおくと

$$Au=\begin{pmatrix}9+2t\\9+2t\\4+2t\end{pmatrix}.$$

これが $\lambda u$ に等しいための条件は

$$4+2t=(9+2t)t$$

であり，

$$2t^2+7t-4=0$$

から

$$t=\frac12,\ -4$$

を得る。 $t=\frac12$ のとき $\lambda=10$ ， $t=-4$ のとき $\lambda=1$ である。

よって固有値は $1,1,10$ であり， 直交規格化した固有ベクトルを

$$e_1=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\quad e_2=\frac{1}{3\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix},\quad e_3=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$$

と取れば， $e_1,e_2,e_3$ は互いに直交し長さ1である。

したがって直交行列

$$P=(e_1,e_2,e_3)$$

に対し

$$D=P^{\mathsf T}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}$$

となる。

(2.3) $x=Px'$ （ $x'=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$ ）とすると

$$Q=x^{\mathsf T}Ax =(x')^{\mathsf T}(P^{\mathsf T}AP)x' =(x')^{\mathsf T}Dx'$$

より標準形は

$$Q=(x')^2+(y')^2+10(z')^2$$

である。