筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2023年8月実施 微积分

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• Integration-by-Parts
• Multivariable-Differentiation
• Differentiation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

数学

問題IとIIの両方に答えよ。問題ごとに別々の解答用紙を使用せよ。 以下では、実数全体の集合を $\mathbb{R}$ とする。

I. 以下の問 [1] 及び [2] に答えよ。

[1] 平面 $\mathbb{R}^2$ 上で定義された次の関数 $f(x,y)$ について、以下の問 (1.1)-(1.4) に答えよ。

$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^4} & ((x,y) \neq (0,0) のとき), \\ 0 & ((x,y) = (0,0) のとき). \end{cases}$$

(1.1) 関数 $f(x,y)$ は連続であることを示せ。

(1.2) 関数 $f(x,y)$ は原点 $(0,0)$ で、両変数に関して偏微分可能であることを示せ。

(1.3) $(x,y) \neq (0,0)$ のとき、関数 $f(x,y)$ の偏導関数 $f_x(x,y), f_y(x,y)$ を求めよ。

(1.4) 偏導関数 $f_x(x,y), f_y(x,y)$ はともに原点 $(0,0)$ において連続でないことを示せ。

[2] ガンマ関数

$$\Gamma(s) = \int_0^{\infty} x^{s-1}e^{-x} dx, \quad s>0$$

について、以下の問 (2.1)-(2.3) に答えよ。

(2.1) 公式 $\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を利用して、 $\Gamma(\frac{1}{2})$ を求めよ。

(2.2) $s > 0$ のとき、部分積分法を用いることにより、 $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ を示せ。

(2.3) 各自然数 $n$ に対して、 $\Gamma(n+\frac{1}{2})$ を求めよ。

题目描述

原题开头要求问题 I、II 均作答并分别使用答题纸，但当前文件的 Description 与 Kai 只包含问题 I；问题 II 的题面缺失，无法由本文件唯一恢复。现有问题 I 包含以下两组题。

[1] 二元函数

在平面 $\mathbb R^2$ 上定义

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy^3}{x^2+y^4},&(x,y)\neq(0,0),\\[5pt] 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

1. 证明 $f(x,y)$ 在 $\mathbb R^2$ 上连续。
2. 证明 $f$ 在原点 $(0,0)$ 关于两个变量的偏导数都存在。
3. 当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，求偏导函数 $f_x(x,y)$ 与 $f_y(x,y)$。
4. 证明 $f_x$ 和 $f_y$ 在原点 $(0,0)$ 都不连续。

[2] Gamma 函数

对 $s>0$，定义

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx.$$

1. 使用已知公式

   $$\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt=\frac{\sqrt\pi}{2}$$

   求 $\Gamma\!\left(\frac12\right)$。

2. 对 $s>0$，使用分部积分证明递推公式

   $$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s).$$

3. 对每个自然数 $n$，求

   $$\Gamma\!\left(n+\frac12\right).$$

Kai

解答:

[1] (1.1) 連続性: $(x,y)\neq(0,0)$ では分母が正なので， $f$ は連続である． また， $2|x|y^2\leq x^2+y^4$ より，

$$|f(x,y)| =|y|\frac{|x|y^2}{x^2+y^4} \leq\frac{|y|}{2}$$

が成り立つ． $(x,y)\to(0,0)$ なら $|y|/2\to0$ であるから， はさみうちの原理により $f(x,y)\to0=f(0,0)$ となる． したがって， $f$ は原点でも連続であり，平面全体で連続である．

(1.2) 偏微分可能性:

$$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$$

$$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$$

したがって、 $f(x,y)$ は原点 $(0,0)$ で偏微分可能です。

(1.3) 偏導関数の計算: $(x,y) \neq (0,0)$ のとき

$$f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \frac{xy^3}{x^2+y^4} = \frac{y^3(x^2+y^4) - xy^3(2x)}{(x^2+y^4)^2} = \frac{y^3(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2}$$

$$f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \frac{xy^3}{x^2+y^4} = \frac{x(3y^2(x^2+y^4) - y^3(4y^3))}{(x^2+y^4)^2} = \frac{x(3x^2y^2 - y^6)}{(x^2+y^4)^2}$$

(1.4) 偏導関数の連続性:

$$f_x(0,0) = 0$$

$$f_x(x,y) = \frac{y^3(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2}$$

$x = y^2$ に沿って原点に近づくと

$$\lim_{y\to 0} f_x(y^2, y) = \lim_{y\to 0} \frac{y^3(y^4 - y^4)}{(y^4 + y^4)^2} = 0$$

$x = 0$ に沿って原点に近づくと

$$\lim_{y\to 0} f_x(0,y) = \lim_{y\to 0} \frac{y^7}{y^8} = \lim_{y\to 0} \frac{1}{y}$$

これは存在しないので、 $f_x$ は原点で連続ではありません。 また， $x=y^2$ に沿って原点に近づくと

$$f_y(y^2,y) =\frac{y^2(3y^6-y^6)}{(y^4+y^4)^2} =\frac12$$

となる一方， $f_y(0,0)=0$ である．したがって， $f_y$ も原点で連続ではない．

[2] (2.1) $\Gamma(\frac{1}{2})$ の計算:

$$\Gamma(\frac{1}{2}) = \int_0^{\infty} x^{\frac{1}{2}-1}e^{-x} dx = \int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-x} dx$$

$x = t^2$ を代入すると、 $dx = 2t dt$

$$\Gamma(\frac{1}{2}) = \int_0^{\infty} (t^2)^{-\frac{1}{2}}e^{-t^2} 2t dt = 2\int_0^{\infty} t^{-1}e^{-t^2} t dt = 2\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi}$$

(2.2) $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ の証明: 部分積分法を使う:

$$\Gamma(s+1) = \int_0^{\infty} x^{(s+1)-1}e^{-x} dx = \int_0^{\infty} x^{s}e^{-x} dx$$

$u = x^s, dv = e^{-x} dx$ とすると， $du = sx^{s-1} dx, v = -e^{-x}$

$$\Gamma(s+1) = [-x^se^{-x}]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-x} sx^{s-1} dx$$

$$\lim_{x\to \infty} x^s e^{-x} = 0$$

$$\Gamma(s+1) = 0 + s\int_0^{\infty} x^{s-1} e^{-x} dx = s\Gamma(s)$$

(2.3) $\Gamma(n+\frac{1}{2})$ の計算: $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ を使用し， $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ を繰り返し適用する。

$$\Gamma(n+\frac{1}{2}) = (n-\frac{1}{2})\Gamma(n-\frac{1}{2}) = (n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})\Gamma(n-\frac{3}{2}) = \cdots = (n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})$$

$$\Gamma(n+\frac{1}{2}) = \frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 1}{2^n} \sqrt{\pi} = \frac{(2n)!}{2^n(2n)(2n-2)\cdots 2} \sqrt{\pi} = \frac{(2n)!}{2^n 2^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n)!}{4^n n!} \sqrt{\pi}$$