筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム・サービス工学学位プログラム 共通 2023年1月実施 数学 II

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

(1) 関数 $f(x) = \sin x$ とする. $f^{(n)}(x) (n = 1,2,...)$ は $f(x)$ の $n$ 階微分である.以下の問いに答えよ. (a) 次の値をそれぞれ求めよ. i) $f^{(2n-1)}(0)$ , ii) $f^{(2n)}(0), n = 1, 2, ...$ (b) 次の極限を求めよ. i) $\lim_{x \to 0} \frac{x - f(x)}{x^3}$ , ii) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x + x^3/6}{x^5}$ , iii) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x + x^3/6 - x^5/120}{x^7}$ (2) 実数関数の列 $f_n(x) (n = 1,2,...)$ は以下のように定義される.

$$f_1(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & \text{その他} \end{cases}$$

$n = 2, 3, ...$ について

$$f_n(x) = \begin{cases} \int_0^{\infty} f_{n-1}(x - y) f_1(y) dy & x \geq 0 \\ 0 & \text{その他} \end{cases}$$

ただし, $\lambda > 0$ とする. 以下の問いに答えよ. (a) $x \geq 0$ の場合, $f_2(x)$ を求めよ. (b) $\int_0^{\infty} x f_2(x) dx$ を求めよ. (c) $x \geq 0$ の場合, $f_3(x)$ を求めよ. (d) $x \geq 0$ の場合, $f_n(x) (n = 1,2,...)$ を求めよ. (e) $\int_0^{\infty} f_n(x) dx (n = 1,2,...)$ を求めよ.

题目描述

完成以下两题。

1. 令 $f(x)=\sin x$，并以 $f^{(n)}(x)$ 表示 $f$ 的 $n$ 阶导数，其中 $n=1,2,\ldots$。

   1. 对每个 $n=1,2,\ldots$，分别求

      $$\text{(i)}\ f^{(2n-1)}(0),\qquad \text{(ii)}\ f^{(2n)}(0).$$

   2. 分别求极限

      $$\text{(i)}\quad \lim_{x\to0}\frac{x-f(x)}{x^3},$$
      $$\text{(ii)}\quad \lim_{x\to0} \frac{f(x)-x+x^3/6}{x^5},$$
      $$\text{(iii)}\quad \lim_{x\to0} \frac{f(x)-x+x^3/6-x^5/120}{x^7}.$$

2. 设 $\lambda>0$。定义实函数列 $f_n(x)\ (n=1,2,\ldots)$：

   $$f_1(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\geq0,\\ 0,&\text{其他情形}, \end{cases}$$

   对 $n=2,3,\ldots$，

   $$f_n(x)= \begin{cases} \displaystyle\int_0^\infty f_{n-1}(x-y)f_1(y)\,dy,&x\geq0,\\ 0,&\text{其他情形}. \end{cases}$$

   回答：

   1. 当 $x\geq0$ 时求 $f_2(x)$；
   2. 求 $\displaystyle\int_0^\infty x f_2(x)\,dx$；
   3. 当 $x\geq0$ 时求 $f_3(x)$；
   4. 当 $x\geq0$ 时求一般的 $f_n(x)\ (n=1,2,\ldots)$；
   5. 对 $n=1,2,\ldots$，求 $\displaystyle\int_0^\infty f_n(x)\,dx$。

Kai

(1) (a) i) $f(x)=\sin x$ とすると，

$$f'(x)=\cos x,\quad f''(x)=-\sin x,\quad f'''(x)=-\cos x,\quad f^{(4)}(x)=\sin x$$

であり，微分は周期 $4$ をもつ． したがって，

$$f^{(2n-1)}(0) = (-1)^{n-1}\cos 0 = (-1)^{n-1}$$

が成り立つ．

ii) 同様に，

$$f^{(2n)}(0) = (-1)^n \sin 0 = 0$$

である．

(b) i) 極限

$$\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$$

を求める． $\sin x$ のテイラー展開

$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

を用いると，

$$\frac{x-\sin x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}+\cdots}{x^3}$$

となる．よって，

$$\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$$

である．

ii) 次に，

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6}}{x^5}$$

を考える． テイラー展開を代入すると，

$$\frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6}}{x^5} = \frac{\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots}{x^5}$$

となるので，

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6}}{x^5} = \frac{1}{120}$$

である．

iii) さらに，

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120}}{x^7}$$

について，

$$\frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120}}{x^7} = \frac{-\frac{x^7}{7!}+\cdots}{x^7}$$

が成り立つ．したがって，

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120}}{x^7} = -\frac{1}{7!} = -\frac{1}{5040}$$

である．

(2) (a) 畳み込みの定義より，

$$f_2(x) = \int_0^{\infty} f_1(x-y)f_1(y)\,dy$$

である． $x\ge 0$ のとき，

$$f_2(x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda(x-y)} \lambda e^{-\lambda y}\,dy$$

となり，

$$f_2(x) = \lambda^2 e^{-\lambda x} \int_0^x dy = \lambda^2 x e^{-\lambda x}$$

を得る．

(b)

$$\int_0^{\infty} x f_2(x)\,dx = \lambda^2 \int_0^{\infty} x^2 e^{-\lambda x}\,dx$$

である．部分積分を2回用いると，

$$\int_0^{\infty} x^2 e^{-\lambda x}\,dx = \frac{2}{\lambda^3}$$

が得られる．したがって，

$$\int_0^{\infty} x f_2(x)\,dx = \lambda^2\cdot\frac{2}{\lambda^3} = \frac{2}{\lambda}$$

である．

(c) 同様に，

$$f_3(x) = \int_0^{\infty} f_2(x-y)f_1(y)\,dy$$

であり， $x\ge 0$ のとき，

$$f_3(x) = \lambda^3 e^{-\lambda x} \int_0^x (x-y)\,dy$$

となる．ここで，

$$\int_0^x (x-y)\,dy = \frac{x^2}{2}$$

より，

$$f_3(x) = \frac{\lambda^3 x^2 e^{-\lambda x}}{2}$$

を得る．

(d) 以上より，一般に

$$f_n(x) = \frac{\lambda^n x^{n-1} e^{-\lambda x}}{(n-1)!}$$

が成り立つ。実際、$n=1$ では定義と一致し、$n\geq2$ で $f_{n-1}$ にこの形を仮定すると、

$$f_n(x)=\frac{\lambda^ne^{-\lambda x}}{(n-2)!}\int_0^x(x-y)^{n-2}\,dy =\frac{\lambda^nx^{n-1}e^{-\lambda x}}{(n-1)!}$$

となるので、帰納法により示される。

(e) 正規化を確認するため，

$$\int_0^{\infty} f_n(x)\,dx = \frac{\lambda^n}{(n-1)!} \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-\lambda x}\,dx$$

を計算する．変数変換 $u=\lambda x$ を用いると，

$$\int_0^{\infty} f_n(x)\,dx = \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{\infty} u^{n-1} e^{-u}\,du = \frac{\Gamma(n)}{(n-1)!} = 1$$

となる．