筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2022年8月実施 数学I

标签：

• Tsukuba-University
• Gamma-Function

Author

Miyake

Description

题目描述

当前文件的原始题目描述为空，无法从现有内容中完整复原各小问的具体条件与要求。根据文件标签及下方解答可以确认，本题包含与伽马函数有关的微积分问题；解答中使用了伽马函数的积分定义

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx$$

并对 $\Gamma\!\left(\frac12\right)$ 作变量代换，将其化为高斯积分。作答时应以原试卷给出的各小问为准，说明广义积分的变换过程、收敛性及所需的伽马函数性质。

考点

• 伽马函数：掌握伽马函数的积分定义及其特殊值。
• 广义积分：正确处理无穷区间上的积分及其收敛性。
• 变量代换：通过 $x=t^2$ 等代换把伽马函数积分化为高斯积分。

Kai

[1]

[2]

(2.1)

$$\begin{aligned} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) &= \int_0^\infty x^{-\frac{1}{2}} e^{-x} dx \\ &= \int_0^\infty t^{-1} e^{-t^2} 2tdt \ \ \ \ \ \ \ \ (t=\sqrt{x}) \\ &= 2 \int_0^\infty e^{-t^2} dt \\ &= \sqrt{\pi} \end{aligned}$$

(2.2)

$$\begin{aligned} \Gamma \left( s+1 \right) &= \int_0^\infty x^s e^{-x} dx \\ &= - \left[ x^s e^{-x} \right]_0^\infty + s \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx \\ &= s \Gamma (s) \end{aligned}$$

(2.3)

(2.1), (2.2) から

$$\begin{aligned} \Gamma \left( 1 + \frac{1}{2} \right) &= \frac{1}{2} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \\ \Gamma \left( 2 + \frac{1}{2} \right) &= \frac{3}{2} \Gamma \left( \frac{3}{2} \right) \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \\ \Gamma \left( 3 + \frac{1}{2} \right) &= \frac{5}{2} \Gamma \left( \frac{5}{2} \right) \\ &= \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \end{aligned}$$

がわかり、自然数 $n$ について

$$\begin{aligned} \Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right) &= \frac{\prod_{k=1}^n (2k-1)}{2^n} \sqrt{\pi} \end{aligned}$$

が成り立つことがわかる。