筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2020年8月実施 微积分

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

以下の (1)-(4) に答えよ.

(1) 実関数 $f(x)$ , $g(x)$ を以下のように定める. $x \neq 0$ の場合

$$f(x) = \frac{|\sin(x)|}{x}, \quad g(x) = \frac{x - \sin(x)}{|\sin(x)|^3}$$

$x=0$ の場合 $f(0) = 1$ , $g(0) = 1/6$ .

$x$ を任意の実数としたとき, 以下をそれぞれ求めよ.

(i) $x$ が $0$ に近づくときの $f(x)$ の左側極限値 (ii) $x$ が $0$ に近づくときの $f(x)$ の右側極限値 (iii) $x$ が $0$ に近づくときの $g(x)$ の左側極限値 (iv) $x$ が $0$ に近づくときの $g(x)$ の右側極限値

(実関数 $h(x)$ に対して, $x$ が $a$ に近づく時の左側極限値は $\lim_{x \to a-0} h(x)$ , $\lim_{x \to a^-} h(x)$ 等で表記され, $x$ が $a$ に近づくときの右側極限値は $\lim_{x \to a+0} h(x)$ , $\lim_{x \to a^+} h(x)$ 等と表記される.)

(2) 実関数 $h(x)$ について、次の i) と ii) の定義を書け. i) $h(x)$ は実数 $a$ において左連続である. ii) $h(x)$ は実数 $a$ において右連続である.

(3) 次の不等式が成り立たないような $x \in (0,1)$ が存在することを示せ。

$$\sin(x) < 0.99999x.$$

また, この問題において, $0.99999$ を任意の $a \in (0,1)$ に置き換えても成り立つか, 理由を付して述べよ。

(4) 次の定積分を計算せよ.

(i) $\int_0^{\pi/2} x^2 \sin(x) dx$

(ii) $\int_0^{\pi/2} x^2 \cos(x) dx$

题目描述

完成以下四题。

1. 定义实函数 $f,g$：当 $x\neq0$ 时，

   $$f(x)=\frac{|\sin x|}{x},\qquad g(x)=\frac{x-\sin x}{|\sin x|^3},$$

   当 $x=0$ 时，

   $$f(0)=1,\qquad g(0)=\frac16.$$

   分别求

   $$\text{(i)}\ \lim_{x\to0^-}f(x),\qquad \text{(ii)}\ \lim_{x\to0^+}f(x),$$
   $$\text{(iii)}\ \lim_{x\to0^-}g(x),\qquad \text{(iv)}\ \lim_{x\to0^+}g(x).$$

   题面同时说明，左极限可记作 $\lim_{x\to a-0}h(x)$ 或 $\lim_{x\to a^-}h(x)$，右极限可记作 $\lim_{x\to a+0}h(x)$ 或 $\lim_{x\to a^+}h(x)$。

2. 对实函数 $h(x)$，分别写出下列概念的定义：

   1. $h$ 在实数 $a$ 处左连续；
   2. $h$ 在实数 $a$ 处右连续。

3. 证明存在某个 $x\in(0,1)$，使不等式

   $$\sin x<0.99999x$$

   不成立。再判断把 $0.99999$ 换成任意 $a\in(0,1)$ 后，上述“存在使不等式不成立的 $x$”的结论是否仍成立，并说明理由。

4. 计算定积分

   $$\text{(i)}\quad \int_0^{\pi/2}x^2\sin x\,dx, \qquad \text{(ii)}\quad \int_0^{\pi/2}x^2\cos x\,dx.$$

Kai

(1)

(i)

$$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{|\sin x|}{x}$$

である． $x\to 0^-$ のとき $\sin x<0$ であるから，

$$\frac{|\sin x|}{x} = \frac{-\sin x}{x}$$

となる．したがって，

$$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$$

である．

(ii) 同様に，

$$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{|\sin x|}{x}$$

を考える． $x\to 0^+$ のとき $\sin x>0$ であるから，

$$\frac{|\sin x|}{x} = \frac{\sin x}{x}$$

となり，

$$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$$

を得る．

(iii) 次に，

$$\lim_{x\to 0^-} g(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{x-\sin x}{|\sin x|^3}$$

を考える． $x\to 0^-$ のとき $\sin x<0$ であるから，

$$|\sin x|^3 = (-\sin x)^3$$

である． $\sin x$ のテイラー展開

$$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$

を用いると，

$$x-\sin x = \frac{x^3}{6}+O(x^5)$$

および

$$(-\sin x)^3 = (-x)^3+O(x^5)$$

が得られる．したがって，

$$\lim_{x\to 0^-} g(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{\frac{x^3}{6}}{(-x)^3} = \frac{1/6}{-1} = -\frac{1}{6}$$

である．

(iv) 同様に，

$$\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{x-\sin x}{|\sin x|^3}$$

を考える． $x\to 0^+$ のとき $\sin x>0$ であるから，

$$|\sin x|^3 = (\sin x)^3$$

である．再びテイラー展開を用いると，

$$x-\sin x = \frac{x^3}{6}+O(x^5), \qquad (\sin x)^3 = x^3+O(x^5)$$

となる．よって，

$$\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6}$$

である．

(2)

i) 関数 $h(x)$ が実数 $a$ において左連続であるとは，

$$\lim_{x\to a^-} h(x)=h(a)$$

が成り立つことをいう．

ii) 関数 $h(x)$ が実数 $a$ において右連続であるとは，

$$\lim_{x\to a^+} h(x)=h(a)$$

が成り立つことをいう．

(3)

$f(x)=\sin x-0.99999x$ とおく．このとき $f(0)=0$ である． 微分すると，

$$f'(x)=\cos x-0.99999$$

であり，

$$f'(0)=1-0.99999=0.00001>0$$

となる．したがって， $0$ の近傍において

$$f(x)>0$$

となる $x$ が存在し，

$$\sin x>0.99999x$$

が成り立つ．

したがって，題意の不等式が成り立たない $x\in(0,1)$ が存在する．

一般に $a\in(0,1)$ を任意にとると，

$$\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1>a$$

である．よって十分小さい正の $x$ に対して $\sin x/x>a$ ，すなわち $\sin x>ax$ が成り立つ． したがって， $0.99999$ を任意の $a\in(0,1)$ に置き換えても， 不等式 $\sin x<ax$ が成り立たない $x\in(0,1)$ は存在する．

(4)

(i)

$$\int_0^{\pi/2} x^2\sin x\,dx$$

を計算する．部分積分により，

$$\int_0^{\pi/2} x^2\sin x\,dx = \left[-x^2\cos x\right]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} 2x\cos x\,dx$$

となる．さらに部分積分を行うと，

$$\int_0^{\pi/2} 2x\cos x\,dx = \left[2x\sin x\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} 2\sin x\,dx$$

である．よって，

$$\int_0^{\pi/2} x^2\sin x\,dx = \pi + (0-2) = \pi-2$$

を得る．

(ii) 同様に，

$$\int_0^{\pi/2} x^2\cos x\,dx$$

を計算する．部分積分より，

$$\int_0^{\pi/2} x^2\cos x\,dx = \left[x^2\sin x\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} 2x\sin x\,dx$$

である．さらに計算すると，

$$\int_0^{\pi/2} x^2\cos x\,dx = \frac{\pi^2}{4} - \left[2\sin x\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi^2}{4}-2$$

となる．