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筑波大学 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム・サービス工学学位プログラム 共通 2020年1月実施 数学 II

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

以下の (1)-(3) に答えよ.

(1) 実関数 f(x)f(x) 及び g(x)g(x) を以下のように定める.

x>0x>0 の場合:

f(x)=exp⁡(x)−1−xx,g(x)=exp⁡(x)−1−x−x/2x3/2f(x) = \frac{\exp(\sqrt{x}) - 1 - \sqrt{x}}{x}, \quad g(x) = \frac{\exp(\sqrt{x}) - 1 - \sqrt{x} - x/2}{x^{3/2}}

x=0x=0 の場合:

f(0)=C1,g(0)=C2.f(0) = C_1, \quad g(0) = C_2.

xx を任意の実数としたとき、以下をそれぞれ求めよ。

(i) xx が 00 に近づくときの f(x)f(x) 及び g(x)g(x) の右側極限值.

(ii) f(x)f(x) と g(x)g(x) が x=0x=0 において右連続であるための C1C_1 及び C2C_2 の値.

(実関数 h(x)h(x) に対して、 xx が aa に近づくときの右側極限値は lim⁡x→a+0h(x)\lim_{x \to a+0} h(x) , lim⁡x→a+h(x)\lim_{x \to a^+} h(x) 等と表記される。)

(2) (i) 実関数 h(x)h(x) について、実数 aa における微分の定義を書け、また、微分の意味,及び、社会問題への微分の応用について150字以内で説明せよ。

(ii) 次の極限を微分の形に直し、その値を求めよ.

lim⁡x→0cos⁡(x20)−1x\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^{20}) - 1}{x}

(3) (i) 次の関数のグラフを描け.

f(x)=xexp⁡(−x).(x≥0)f(x) = x \exp(-x). \quad (x \geq 0)

(ii) 次の広義積分を計算せよ.

∫0∞xexp⁡(−x)dx.\int_0^{\infty} x \exp(-x) dx.

(iii) nn を任意の自然数としたとき、次の広義積分を計算せよ.

∫0∞xnexp⁡(−x)dx.\int_0^{\infty} x^n \exp(-x) dx.

题目描述​

完成以下三题。

  1. 对 x>0x>0，定义

    f(x)=ex−1−xx,g(x)=ex−1−x−x/2x3/2,f(x)=\frac{e^{\sqrt x}-1-\sqrt x}{x},\qquad g(x)=\frac{e^{\sqrt x}-1-\sqrt x-x/2}{x^{3/2}},

    并在 x=0x=0 时令

    f(0)=C1,g(0)=C2.f(0)=C_1,\qquad g(0)=C_2.

    以下问题均在 x≥0x\geq0 的定义域内讨论，只涉及从右侧趋近 00：

    1. 分别求 lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x) 与 lim⁡x→0+g(x)\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)；
    2. 求使 f,gf,g 在 x=0x=0 处右连续的 C1,C2C_1,C_2。

    题面同时说明，函数 hh 在 aa 处的右极限可写作 lim⁡x→a+0h(x)\lim_{x\to a+0}h(x) 或 lim⁡x→a+h(x)\lim_{x\to a^+}h(x)。

  2. 回答以下问题：

    1. 写出实函数 h(x)h(x) 在实数 aa 处导数的定义，并在 150 字以内说明微分的含义及其在社会问题中的应用。

    2. 将下列极限改写为导数形式并求值：

      lim⁡x→0cos⁡(x20)−1x.\lim_{x\to0}\frac{\cos(x^{20})-1}{x}.

  3. 回答以下问题：

    1. 画出函数

      f(x)=xe−x(x≥0)f(x)=xe^{-x}\qquad(x\geq0)

      的图像。

    2. 计算广义积分

      ∫0∞xe−x dx.\int_0^\infty xe^{-x}\,dx.

    3. 对任意自然数 nn，计算

      ∫0∞xne−x dx.\int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx.

Kai​

(1)

(i)

f(x)=ex−1−xxf(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}-1-\sqrt{x}}{x}

とおく． t=xt=\sqrt{x} とおけば x=t2x=t^2 であり， x→0+x\to 0^+ のとき t→0+t\to 0^+ となる．よって，

lim⁡x→0+f(x)=lim⁡t→0+et−1−tt2\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{t\to 0^+} \frac{e^t-1-t}{t^2}

である．ここでロピタルの定理を用いると，

lim⁡t→0+et−1−tt2=lim⁡t→0+et−12t\lim_{t\to0^+}\frac{e^t-1-t}{t^2} = \lim_{t\to0^+}\frac{e^t-1}{2t}

が成り立つので，

lim⁡x→0+f(x)=lim⁡t→0+et2=12\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{t\to 0^+} \frac{e^t}{2} = \frac{1}{2}

を得る．

次に，

g(x)=ex−1−x−x2x3/2g(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}-1-\sqrt{x}-\frac{x}{2}}{x^{3/2}}

とおく．同様に t=xt=\sqrt{x} とすると，

g(x)=et−1−t−t22t3g(x) = \frac{e^t-1-t-\frac{t^2}{2}}{t^3}

である．したがって，

lim⁡x→0+g(x)=lim⁡t→0+et−1−t−t22t3\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{t\to 0^+} \frac{e^t-1-t-\frac{t^2}{2}}{t^3}

となる．ここでロピタルの定理を用いると，

lim⁡t→0+et−1−t−t22t3=lim⁡t→0+et−1−t3t2\lim_{t\to0^+}\frac{e^t-1-t-\frac{t^2}{2}}{t^3} = \lim_{t\to0^+}\frac{e^t-1-t}{3t^2}

より，

lim⁡x→0+g(x)=lim⁡t→0+et−16t=lim⁡t→0+et6=16\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{t\to 0^+} \frac{e^t-1}{6t} = \lim_{t\to 0^+} \frac{e^t}{6} = \frac{1}{6}

である．

(ii) f(x)f(x) および g(x)g(x) が x=0x=0 において右連続となるためには，

f(0)=lim⁡x→0+f(x),g(0)=lim⁡x→0+g(x)f(0)=\lim_{x\to 0^+} f(x),\qquad g(0)=\lim_{x\to 0^+} g(x)

が必要である．よって，

f(0)=C1=12,g(0)=C2=16f(0)=C_1=\frac{1}{2},\qquad g(0)=C_2=\frac{1}{6}

と定めればよい．

(2)

(i) 関数 h(x)h(x) の x=ax=a における微分係数の定義は，

h′(a)=lim⁡x→ah(x)−h(a)x−ah'(a) = \lim_{x\to a} \frac{h(x)-h(a)}{x-a}

であり， Δx=x−a\Delta x=x-a とおくと，

h′(a)=lim⁡Δx→0h(a+Δx)−h(a)Δxh'(a) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{h(a+\Delta x)-h(a)}{\Delta x}

と書ける．

微分は瞬間変化率およびグラフの接線の傾きを表す．社会問題では，人口・価格・感染者数などの時間変化を測り，増減の予測や政策効果の比較に用いられる．

(ii) 極限

lim⁡x→0cos⁡(x20)−1x\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x^{20})-1}{x}

を考える． u=x20u=x^{20} とおくと， x→0x\to 0 のとき u→0u\to 0 である．したがって，

cos⁡(x20)−1x=cos⁡u−cos⁡0u x19\frac{\cos(x^{20})-1}{x} = \frac{\cos u-\cos 0}{u}\,x^{19}

と変形できる．ここで，

dducos⁡u∣u=0=−sin⁡0=0\left.\frac{d}{du}\cos u\right|_{u=0} = -\sin 0 = 0

であるから，

lim⁡x→0cos⁡(x20)−1x=0\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x^{20})-1}{x} = 0

となる．

また，ロピタルの定理を用いると，

lim⁡x→0cos⁡(x20)−1x=lim⁡x→0−sin⁡(x20)⋅20x191=0\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x^{20})-1}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{-\sin(x^{20})\cdot 20x^{19}}{1} = 0

と求めることもできる．

(3)

(i) x≥0x\ge 0 において

f(x)=xe−xf(x)=x e^{-x}

とする．このとき，

f′(x)=e−x−xe−x=(1−x)e−xf'(x) = e^{-x}-x e^{-x} = (1-x)e^{-x}

であり， f′(x)=0f'(x)=0 となるのは x=1x=1 のときである．

f(1)=e−1=1ef(1)=e^{-1}=\frac{1}{e}

である．

さらに，

f′′(x)=−e−x−(1−x)e−x=(x−2)e−xf''(x) = -e^{-x}-(1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}

より， f′′(x)=0f''(x)=0 となるのは x=2x=2 であり，

f(2)=2e−2f(2)=2e^{-2}

である．以上より， f(x)f(x) は x=0x=0 から x=1x=1 まで増加し， その後 x→∞x\to\infty で 00 に収束する．

Graph of f

(ii)

∫0∞xe−x dx\int_0^{\infty} x e^{-x}\,dx

を部分積分すると，

∫0∞xe−x dx=[−xe−x]0∞+∫0∞e−x dx\int_0^{\infty} x e^{-x}\,dx = \left[-x e^{-x}\right]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-x}\,dx

となる．ここで，

[−xe−x]0∞=0\left[-x e^{-x}\right]_0^{\infty}=0

であるから，

∫0∞xe−x dx=[−e−x]0∞=1\int_0^{\infty} x e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\right]_0^{\infty} = 1

を得る．

(iii) 一般に，

∫0∞xne−x dx\int_0^{\infty} x^n e^{-x}\,dx

を部分積分すると，

∫0∞xne−x dx=[−xne−x]0∞+∫0∞nxn−1e−x dx\int_0^{\infty} x^n e^{-x}\,dx = \left[-x^n e^{-x}\right]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} n x^{n-1} e^{-x}\,dx

である．ここで

In=∫0∞xne−x dxI_n=\int_0^{\infty} x^n e^{-x}\,dx

とおくと，

In=nIn−1I_n=n I_{n-1}

が成り立つ．また，

I0=∫0∞e−x dx=1I_0=\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx=1

より，

In=n!I0=n!I_n=n! I_0=n!

を得る．

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