筑波大学 システム情報工学研究科 社会工学専攻（社会工学学位プログラム・サービス工学学位プログラム） 2019年8月実施 数学 I

标签：

• Tsukuba-University
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Positive-Semidefinite-Matrix
• Basis-and-Dimension

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

数学

問題IとIIの両方に答えよ。問題ごとに別々の解答用紙を使用せよ。 以下では，実数全体の集合を $\mathbb{R}$ とする。

I. $n$ 次元実ベクトル $a \in \mathbb{R}^n$ , $n$ 次正方行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ に対して, ${}^t a$ , ${}^t A$ をそれぞれ $a$ の転置ベクトル, $A$ の転置行列とする。次の3つの3次元実ベクトル

$$p_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, p_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, p_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

に対して，3つの3次正方行列

$$P_1 = p_1 {}^t p_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, P_2 = p_2 {}^t p_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, P_3 = p_3 {}^t p_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

を定義し，さらに3つの実数 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R}$ に対して3次正方行列

$$A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \alpha_1 P_1 + \alpha_2 P_2 + \alpha_3 P_3$$

を定義する。以下の(1)-(5)に答えよ。

(1) 以下の3次正方行列の各要素を計算せよ。

$$\begin{pmatrix} {}^t p_1 p_1 & {}^t p_1 p_2 & {}^t p_1 p_3 \\ {}^t p_2 p_1 & {}^t p_2 p_2 & {}^t p_2 p_3 \\ {}^t p_3 p_1 & {}^t p_3 p_2 & {}^t p_3 p_3 \end{pmatrix}$$

(2) 3つの3次元実ベクトル $A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) p_1$ , $A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) p_2$ , $A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) p_3$ それぞれを, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ と具体的な実数で表される $x_1, x_2, x_3$ を用いて, $x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3$ の形で表せ。

(3) 3次正方行列 $A(1, 2, 3)$ の固有値をすべて求めよ。

(4) $n$ 次正方行列 $A$ について，任意の $n$ 次元実ベクトル $d \in \mathbb{R}^n$ に対して ${}^t d A d \geq 0$ が成り立つとき， $A$ は半正定値行列であるという。3次正方行列 $A(1, 2, 3)$ が半正定値行列であるか否か，理由を付して述べよ。

(5) 3次正方行列 $A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ が半正定値行列であるための, 3つの実数 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R}$ に関する必要十分条件について，理由を付して述べよ。

题目描述

对 $n$ 维实向量 $a\in\mathbb R^n$ 和 $n$ 阶实方阵 $A\in\mathbb R^{n\times n}$，分别以 ${}^ta$、${}^tA$ 表示其转置。给定

$$p_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad p_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad p_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix},$$

并定义三个外积矩阵

$$P_1=p_1{}^tp_1= \begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix},$$

$$P_2=p_2{}^tp_2= \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix},\qquad P_3=p_3{}^tp_3= \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb R$，再令

$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) =\alpha_1P_1+\alpha_2P_2+\alpha_3P_3.$$

回答下列问题：

1. 计算 Gram 矩阵

   $$\begin{pmatrix} {}^tp_1p_1&{}^tp_1p_2&{}^tp_1p_3\\ {}^tp_2p_1&{}^tp_2p_2&{}^tp_2p_3\\ {}^tp_3p_1&{}^tp_3p_2&{}^tp_3p_3 \end{pmatrix}$$

   的每个元素。

2. 分别将

   $$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)p_1,\quad A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)p_2,\quad A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)p_3$$

   表示成 $x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3$ 的形式，其中 $x_1,x_2,x_3$ 要用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 和具体实数写出。

3. 求 $A(1,2,3)$ 的全部特征值。

4. 若对任意 $d\in\mathbb R^n$ 均有 ${}^tdAd\geq0$，则称 $n$ 阶实方阵 $A$ 为半正定矩阵。判断 $A(1,2,3)$ 是否半正定，并说明理由。

5. 给出 $A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 为半正定矩阵时，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 所满足的必要充分条件，并说明理由。

Kai

(1)

3つのベクトルは互いに直交し、長さの2乗はそれぞれ $2,2,1$ である。したがって、求める行列は

$$\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

(2)

$P_i p_j=p_i({}^tp_i p_j)$ と (1) より、

$$\begin{aligned} A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)p_1&=2\alpha_1p_1,\\ A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)p_2&=2\alpha_2p_2,\\ A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)p_3&=\alpha_3p_3. \end{aligned}$$

よって係数 $(x_1,x_2,x_3)$ は、それぞれ $(2\alpha_1,0,0)$、$(0,2\alpha_2,0)$、$(0,0,\alpha_3)$ である。

(3)

$p_1,p_2,p_3$ は互いに直交する非零ベクトルなので $\mathbb R^3$ の基底をなす。(2) より、

$$A(1,2,3)= \begin{pmatrix} 3&0&-1\\ 0&3&0\\ -1&0&3 \end{pmatrix}$$

の固有値は $p_1,p_2,p_3$ に対応して、それぞれ

$$\boxed{2,\ 4,\ 3}$$

である。

(4)

任意の $d\in\mathbb R^3$ に対し、

$${}^tdA(1,2,3)d =({}^tp_1d)^2+2({}^tp_2d)^2+3({}^tp_3d)^2 \geq0.$$

したがって $A(1,2,3)$ は半正定値行列である。

(5)

必要十分条件は

$$\boxed{\alpha_1\geq0,\quad\alpha_2\geq0,\quad\alpha_3\geq0}.$$

これらが成り立てば、任意の $d$ に対して

$${}^tdA(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)d =\sum_{i=1}^3\alpha_i({}^tp_id)^2\geq0$$

となるので十分である。逆に半正定値なら、$d=p_1,p_2,p_3$ をそれぞれ代入することで

$$4\alpha_1\geq0,\qquad4\alpha_2\geq0,\qquad\alpha_3\geq0$$

を得るため、必要でもある。