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筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2020年2月実施 线性代数

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

β∈R\beta \in \mathbb{R} とする。以下で与えられた3つの3次元実ベクトル

p1=(110),p2=(10−1),p3=(0−1β)p_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, p_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, p_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ \beta \end{pmatrix}

が張る線形空間を以下のように LL とする。

L={α1p1+α2p2+α3p3∣α1,α2,α3∈R}L = \{ \alpha_1 p_1 + \alpha_2 p_2 + \alpha_3 p_3 \mid \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R} \}

以下の (1)-(5) に答えよ。

(1) β∈R\beta \in \mathbb{R} の値と線形空間 LL の次元の関係を、説明を付して示せ。

(2) 線形空間 LL の次元が2であるときの β\beta を1つ選び、その β\beta に対する LL の基底 {q1,q2}\{q_1, q_2\} を1つ求めよ。

(3) (2) で選んだ β\beta と、(2) で求めた基底 {q1,q2}\{q_1, q_2\} を用いて、 LL を

L={α1q1+α2q2∣α1,α2∈R}L = \{ \alpha_1 q_1 + \alpha_2 q_2 \mid \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R} \}

で表すとする。変数 γ∈R\gamma \in \mathbb{R} を含む3次元実ベクトル

r(γ)=(γ1−γ1)r(\gamma) = \begin{pmatrix} \gamma \\ 1-\gamma \\ 1 \end{pmatrix}

で座標が与えられる点と、 LL 上の各3次元実ベクトル α1q1+α2q2\alpha_1 q_1 + \alpha_2 q_2 で座標が与えられる点を考える。これら2点のユークリッド距離を、 α1,α2,γ\alpha_1, \alpha_2, \gamma の関数 f:R3→Rf : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} として与えよ。

(4) (3) で与えた f:R3→Rf : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} を考える。任意の γ∈R\gamma \in \mathbb{R} に対して、

min⁡α1,α2∈Rf(α1,α2,γ)\min_{\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}} f(\alpha_1, \alpha_2, \gamma)

の解を与える (α1,α2)(\alpha_1, \alpha_2) の組を (α1∗(γ),α2∗(γ))(\alpha_1^*(\gamma), \alpha_2^*(\gamma)) とする。

r^(γ)=α1∗(γ)q1+α2∗(γ)q2\hat{r}(\gamma) = \alpha_1^*(\gamma) q_1 + \alpha_2^*(\gamma) q_2

とするとき、各 γ∈R\gamma \in \mathbb{R} に対する r^(γ)\hat{r}(\gamma) を求めよ。

(5) (4) で求めた3次元実ベクトル r^(γ)\hat{r}(\gamma) が以下の3次正方実行列

(110021−110)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

の固有ベクトルであるときの γ\gamma の値と、そのときの r^(γ)\hat{r}(\gamma) の固有値を求めよ。

题目描述​

设 β∈R\beta\in\mathbb R，给定三个三维实向量

p1=(110),p2=(10−1),p3=(0−1β),p_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\qquad p_2=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\qquad p_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\\beta\end{pmatrix},

并令它们张成的线性空间为

L={α1p1+α2p2+α3p3∣α1,α2,α3∈R}.L=\{\alpha_1p_1+\alpha_2p_2+\alpha_3p_3 \mid \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb R\}.

回答下列问题：

  1. 说明实参数 β\beta 的取值与 dim⁡L\dim L 之间的关系，并给出理由。

  2. 选取一个使 dim⁡L=2\dim L=2 的 β\beta，并对该 β\beta 求 LL 的一组基 {q1,q2}\{q_1,q_2\}。

  3. 使用上问所选的 β\beta 和基 {q1,q2}\{q_1,q_2\}，把

    L={α1q1+α2q2∣α1,α2∈R}L=\{\alpha_1q_1+\alpha_2q_2\mid\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb R\}

    作为平面上的点集。另定义

    r(γ)=(γ1−γ1),γ∈R.r(\gamma)=\begin{pmatrix}\gamma\\1-\gamma\\1\end{pmatrix}, \qquad \gamma\in\mathbb R.

    将点 r(γ)r(\gamma) 与 LL 上点 α1q1+α2q2\alpha_1q_1+\alpha_2q_2 之间的欧氏距离写成 α1,α2,γ\alpha_1,\alpha_2,\gamma 的函数

    f:R3→R.f:\mathbb R^3\to\mathbb R.

  4. 对每个固定的 γ∈R\gamma\in\mathbb R，设

    (α1∗(γ),α2∗(γ))\bigl(\alpha_1^*(\gamma),\alpha_2^*(\gamma)\bigr)

    是最小化

    min⁡α1,α2∈Rf(α1,α2,γ)\min_{\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb R} f(\alpha_1,\alpha_2,\gamma)

    的一组解。定义

    r^(γ)=α1∗(γ)q1+α2∗(γ)q2,\hat r(\gamma) =\alpha_1^*(\gamma)q_1+\alpha_2^*(\gamma)q_2,

    求每个 γ\gamma 对应的 r^(γ)\hat r(\gamma)。

  5. 求使 r^(γ)\hat r(\gamma) 成为矩阵

    (110021−110)\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&2&1\\ -1&1&0 \end{pmatrix}

    的特征向量的 γ\gamma，并求此时 r^(γ)\hat r(\gamma) 对应的特征值。

Kai​

(1)

p1=(110),p2=(10−1),p3=(0−1β)p_1= \begin{pmatrix} 1\\[2pt]1\\[2pt]0 \end{pmatrix},\quad p_2= \begin{pmatrix} 1\\[2pt]0\\[2pt]-1 \end{pmatrix},\quad p_3= \begin{pmatrix} 0\\[2pt]-1\\[2pt]\beta \end{pmatrix}

とし， L=span{p1,p2,p3}L=\mathrm{span}\{p_1,p_2,p_3\} とおく． 列ベクトルに p1,p2,p3p_1,p_2,p_3 を並べた行列

M=(11010−10−1β)M= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & \beta \end{pmatrix}

を考えると，

det⁡M=∣11010−10−1β∣=−(β+1)\det M = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & \beta \end{vmatrix} =-(\beta+1)

である．したがって，

β≠−1 ⟹ det⁡M≠0 ⟹ dim⁡L=3\beta\neq -1 \ \Longrightarrow\ \det M\neq 0 \ \Longrightarrow\ \dim L=3

となる．一方 β=−1\beta=-1 のとき det⁡M=0\det M=0 であるから dim⁡L<3\dim L<3 であるが， p1,p2p_1,p_2 は一次独立なので dim⁡L≥2\dim L\ge 2 より，

β=−1 ⟹ dim⁡L=2\beta=-1 \ \Longrightarrow\ \dim L=2

である．結論として，

dim⁡L={3(β≠−1),2(β=−1).\dim L= \begin{cases} 3 & (\beta\neq -1),\\[4pt] 2 & (\beta=-1). \end{cases}

(2) dim⁡L=2\dim L=2 となる β\beta として β=−1\beta=-1 を選ぶ．このとき

p3=(0−1−1)=− p1+p2p_3= \begin{pmatrix} 0\\-1\\-1 \end{pmatrix} = -\,p_1+p_2

が成り立つので， L=span{p1,p2}L=\mathrm{span}\{p_1,p_2\} である．よって基底として

q1=p1=(110),q2=p2=(10−1)q_1=p_1= \begin{pmatrix} 1\\[2pt]1\\[2pt]0 \end{pmatrix}, \qquad q_2=p_2= \begin{pmatrix} 1\\[2pt]0\\[2pt]-1 \end{pmatrix}

をとればよい．

(3) (2) の選択（ β=−1\beta=-1 ）および基底 {q1,q2}\{q_1,q_2\} により，

L={α1q1+α2q2∣α1,α2∈R}L=\{\alpha_1 q_1+\alpha_2 q_2\mid \alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}\}

と表せる．

(4)

r(γ)=(γ1−γ1)(γ∈R)r(\gamma)= \begin{pmatrix} \gamma\\[2pt]1-\gamma\\[2pt]1 \end{pmatrix} \qquad(\gamma\in\mathbb{R})

とし， LL 上の点

α1q1+α2q2=α1(110)+α2(10−1)=(α1+α2α1−α2)\alpha_1 q_1+\alpha_2 q_2 = \alpha_1 \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} +\alpha_2 \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1+\alpha_2\\[2pt]\alpha_1\\[2pt]-\alpha_2 \end{pmatrix}

を考える．この2点のユークリッド距離を

f(α1,α2,γ)=∥r(γ)−(α1q1+α2q2)∥f(\alpha_1,\alpha_2,\gamma) = \left\| r(\gamma)-(\alpha_1 q_1+\alpha_2 q_2) \right\|

とおくと，

r(γ)−(α1q1+α2q2)=(γ−(α1+α2)(1−γ)−α11−(−α2))=(γ−α1−α21−γ−α11+α2)r(\gamma)-(\alpha_1 q_1+\alpha_2 q_2) = \begin{pmatrix} \gamma-(\alpha_1+\alpha_2)\\[2pt] (1-\gamma)-\alpha_1\\[2pt] 1-(-\alpha_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma-\alpha_1-\alpha_2\\[2pt] 1-\gamma-\alpha_1\\[2pt] 1+\alpha_2 \end{pmatrix}

より，

f(α1,α2,γ)=(γ−α1−α2)2+(1−γ−α1)2+(1+α2)2f(\alpha_1,\alpha_2,\gamma) = \sqrt{ (\gamma-\alpha_1-\alpha_2)^2 +(1-\gamma-\alpha_1)^2 +(1+\alpha_2)^2 }

である．

任意の γ\gamma に対して ff を最小化する (α1,α2)(\alpha_1,\alpha_2) を求めるため， 平方

F(α1,α2,γ)=f(α1,α2,γ)2F(\alpha_1,\alpha_2,\gamma)=f(\alpha_1,\alpha_2,\gamma)^2

を最小化する．

F=(γ−α1−α2)2+(1−γ−α1)2+(1+α2)2F = (\gamma-\alpha_1-\alpha_2)^2 +(1-\gamma-\alpha_1)^2 +(1+\alpha_2)^2

とおくと，

∂F∂α1=0,∂F∂α2=0\frac{\partial F}{\partial \alpha_1}=0,\qquad \frac{\partial F}{\partial \alpha_2}=0

より

2α1+α2=1,α1+2α2=γ−12\alpha_1+\alpha_2=1,\qquad \alpha_1+2\alpha_2=\gamma-1

を得る．これを解くと

α1∗(γ)=1−γ3,α2∗(γ)=2γ3−1\alpha_1^*(\gamma)=1-\frac{\gamma}{3},\qquad \alpha_2^*(\gamma)=\frac{2\gamma}{3}-1

である．したがって，

r^(γ)=α1∗(γ)q1+α2∗(γ)q2=(γ/31−γ/31−2γ/3)\hat r(\gamma) =\alpha_1^*(\gamma)q_1+\alpha_2^*(\gamma)q_2 = \begin{pmatrix} \gamma/3\\[2pt] 1-\gamma/3\\[2pt] 1-2\gamma/3 \end{pmatrix}

となる．

(5)

A=(110021−110)A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

とする． r^(γ)\hat r(\gamma) が AA の固有ベクトルであるとは，ある λ∈R\lambda\in\mathbb{R} が存在して

Ar^(γ)=λr^(γ)A\hat r(\gamma)=\lambda \hat r(\gamma)

が成り立つことである．

r^(γ)=(γ/31−γ/31−2γ/3)\hat r(\gamma)= \begin{pmatrix} \gamma/3\\[2pt] 1-\gamma/3\\[2pt] 1-2\gamma/3 \end{pmatrix}

を用いると，

Ar^(γ)=(13−4γ/31−2γ/3)A\hat r(\gamma)= \begin{pmatrix} 1\\[2pt] 3-4\gamma/3\\[2pt] 1-2\gamma/3 \end{pmatrix}

となる．よって第1成分から

1=λ⋅γ3⟹λ=3γ1=\lambda\cdot \frac{\gamma}{3} \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda=\frac{3}{\gamma}

を得る．なお， γ=0\gamma=0 のときは第1成分が 1=01=0 となって不可能であるから，ここで γ\gamma で割ってよい．これを第2成分に代入すると

3−4γ3=λ(1−γ3)=3γ(1−γ3)=3γ−13-\frac{4\gamma}{3} =\lambda\left(1-\frac{\gamma}{3}\right) =\frac{3}{\gamma}\left(1-\frac{\gamma}{3}\right) =\frac{3}{\gamma}-1

より

γ=32\gamma=\frac{3}{2}

が得られる．したがって

λ=3γ=2\lambda=\frac{3}{\gamma}=2

である．第3成分についても 1−2γ/3=λ(1−2γ/3)1-2\gamma/3=\lambda(1-2\gamma/3) が γ=3/2,λ=2\gamma=3/2,\lambda=2 のとき成り立つ．結論として，

γ=32 のとき r^(γ) は固有ベクトルであり，固有値は 2\gamma=\frac{3}{2}\ \text{のとき}\ \hat r(\gamma)\ \text{は固有ベクトルであり，固有値は}\ 2

となる．

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