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筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2019年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

実関数 g(t)=(1+t)exp⁡(−t2)g(t) = (1 + t) \exp(-t^2) に対して、以下のAおよびBの各問いに答えよ。

A. (1) g(t)g(t) の最大値と最小値が存在する場合にはそれぞれの値を求め、存在しない場合は存在しないことを示せ。

(2) 極限 lim⁡t→∞g(t)\lim_{t \to \infty} g(t) と lim⁡t→−∞g(t)\lim_{t \to -\infty} g(t) を求めよ。

(3) z=g(t)z = g(t) のグラフを描け。

B. (1) ∫0∞texp⁡(−t2)dt\int_0^{\infty} t \exp(-t^2) dt を求めよ。

(2) ∫0∞∫0∞exp⁡(−(x2+y2))dxdy\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} \exp(-(x^2 + y^2)) dxdy を、 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos\theta, y = r \sin\theta とおいて求めよ。

(3) ∫−∞∞g(t)dt\int_{-\infty}^{\infty} g(t) dt を求めよ。

题目描述​

给定实函数

g(t)=(1+t)e−t2.g(t)=(1+t)e^{-t^2}.

完成 A、B 两部分。

A.

  1. 分别判断 g(t)g(t) 的最大值和最小值是否存在；存在时求出其值，不存在时给出证明。

  2. 求

    lim⁡t→+∞g(t)和lim⁡t→−∞g(t).\lim_{t\to+\infty}g(t) \quad\text{和}\quad \lim_{t\to-\infty}g(t).

  3. 画出 z=g(t)z=g(t) 的图像。

B.

  1. 计算

    ∫0∞te−t2 dt.\int_0^\infty t e^{-t^2}\,dt.

  2. 按题目指定使用极坐标代换

    x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,

    计算第一象限上的二重广义积分

    ∫0∞∫0∞e−(x2+y2) dx dy.\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.

  3. 计算

    ∫−∞+∞g(t) dt.\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)\,dt.

Kai​

A. (1) g(t)=(1+t)e−t2g(t) = (1+t)e^{-t^2}

g′(t)=e−t2+(1+t)(−2t)e−t2=e−t2(1−2t−2t2)=e−t2(−2t2−2t+1)g'(t) = e^{-t^2} + (1+t)(-2t)e^{-t^2} = e^{-t^2}(1 - 2t - 2t^2) = e^{-t^2}(-2t^2 -2t + 1)

g′(t)=0g'(t) = 0 のとき、 −2t2−2t+1=0-2t^2 - 2t + 1 = 0 t=2±4−4(−2)(1)−4=2±12−4=2±23−4=−1±32t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-2)(1)}}{-4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{-4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{-4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} t1=−1−32<0,t2=−1+32>0t_1 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} < 0, t_2 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} > 0 g(t1)=(1+−1−32)e−(−1−32)2=(1−32)e−(1+23+34)=(1−32)e−(4+234)=(1−32)e−(1+32)g(t_1) = (1 + \frac{-1-\sqrt{3}}{2}) e^{-(\frac{-1-\sqrt{3}}{2})^2} = (\frac{1-\sqrt{3}}{2}) e^{-(\frac{1+2\sqrt{3}+3}{4})} = (\frac{1-\sqrt{3}}{2}) e^{-(\frac{4+2\sqrt{3}}{4})} = (\frac{1-\sqrt{3}}{2})e^{-(1+\frac{\sqrt{3}}{2})} g(t2)=(1+−1+32)e−(−1+32)2=(1+32)e−(1−23+34)=(1+32)e−(4−234)=(1+32)e−(1−32)g(t_2) = (1 + \frac{-1+\sqrt{3}}{2}) e^{-(\frac{-1+\sqrt{3}}{2})^2} = (\frac{1+\sqrt{3}}{2}) e^{-(\frac{1-2\sqrt{3}+3}{4})} = (\frac{1+\sqrt{3}}{2}) e^{-(\frac{4-2\sqrt{3}}{4})} = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})e^{-(1-\frac{\sqrt{3}}{2})} 最大値は g(t2)=(1+32)e−(1−32)g(t_2) = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})e^{-(1-\frac{\sqrt{3}}{2})} 最小値は g(t1)=(1−32)e−(1+32)g(t_1) = (\frac{1-\sqrt{3}}{2})e^{-(1+\frac{\sqrt{3}}{2})}

(2) lim⁡t→∞(1+t)e−t2=lim⁡t→∞1+tet2=lim⁡t→∞12tet2=0\lim_{t \to \infty} (1+t)e^{-t^2} = \lim_{t \to \infty} \frac{1+t}{e^{t^2}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2te^{t^2}} = 0 (L'Hopital's rule) lim⁡t→−∞(1+t)e−t2=lim⁡t→−∞1+tet2=lim⁡t→−∞12tet2=0\lim_{t \to -\infty} (1+t)e^{-t^2} = \lim_{t \to -\infty} \frac{1+t}{e^{t^2}} = \lim_{t \to -\infty} \frac{1}{2te^{t^2}} = 0 (L'Hopital's rule)

(3) グラフの概形：t<−1t<-1 で負の値を取り、t>−1t>-1 で値がプラスになる。t=0t=0 のとき g(t)=1g(t)=1 であり、lim⁡t→∞g(t)=0\lim_{t\to\infty}g(t)=0 に収束する。

B. (1) ∫0∞te−t2dt=[−12e−t2]0∞=0−(−12)=12\int_0^{\infty} t e^{-t^2} dt = [-\frac{1}{2} e^{-t^2}]_0^{\infty} = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

(2) ∫0∞∫0∞e−(x2+y2)dxdy=∫0π2∫0∞e−r2rdrdθ=∫0π2[−12e−r2]0∞dθ=∫0π212dθ=12[θ]0π2=π4\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} e^{-r^2} r dr d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [-\frac{1}{2} e^{-r^2}]_0^{\infty} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} [\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}

(3) ∫−∞∞(1+t)e−t2dt=∫−∞∞e−t2dt+∫−∞∞te−t2dt=∫−∞∞e−t2dt+0\int_{-\infty}^{\infty} (1+t)e^{-t^2} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt + \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-t^2} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt + 0 ∫−∞∞e−t2dt=π\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi} よって、 ∫−∞∞g(t)dt=π\int_{-\infty}^{\infty} g(t) dt = \sqrt{\pi}

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