筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2019年2月実施 线性代数

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• Inner-Product-and-Orthogonality
• Matrix-Determinant

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

3 × 3 実対称行列 $A$ が 3 つの固有値 2, 3, 4 を持ち、

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}, z = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}$$

がそれぞれの固有値に対する固有ベクトルであるとする。ただし、各ベクトルの長さは

$$|x| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = 1, |y| = \sqrt{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2} = 2, |z| = \sqrt{z_1^2 + z_2^2 + z_3^2} = 3$$

である。 行列 $B$ を以下のように定義する。

$$B = (x, y, z) = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{pmatrix}$$

以下の問いに答えよ。 (1) $AB$ を $x_i, y_j, z_k (1 \leq i, j, k \leq 3)$ を用いて表せ。 (2) $x$ と $y$ の内積を $(x, y)$ と表すとき、以下の中から正しいものを選び、また、その理由を説明せよ。 (a) $(x, y) < 0$ , (b) $(x, y) = 0$ , (c) $(x, y) = 2$ , (d) $(x, y) > 2$ . (3) ${}^tBB$ を求めよ。ただし、ここで ${}^tB$ は $B$ の転置行列を表す。 (4) $\det B$ の絶対値を求めよ。

题目描述

设 $3\times3$ 实对称矩阵 $A$ 的三个特征值分别为 $2,3,4$，与它们依次对应的特征向量为

$$x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix},\qquad z=\begin{pmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{pmatrix}.$$

三个向量的长度分别满足

$$|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=1,\quad |y|=\sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2}=2,\quad |z|=\sqrt{z_1^2+z_2^2+z_3^2}=3.$$

以 $x,y,z$ 为列向量定义

$$B=(x,y,z)= \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3 \end{pmatrix}.$$

回答下列问题：

1. 用分量 $x_i,y_j,z_k\ (1\leq i,j,k\leq3)$ 写出矩阵 $AB$。

2. 以 $(x,y)$ 表示 $x$ 与 $y$ 的内积。从下列选项中选择正确结论并说明理由：

   $$\text{(a) }(x,y)<0,\quad \text{(b) }(x,y)=0,\quad \text{(c) }(x,y)=2,\quad \text{(d) }(x,y)>2.$$

3. 求 ${}^tBB$，其中 ${}^tB$ 表示 $B$ 的转置矩阵。

4. 求 $|\det B|$。

Kai

(1) $Ax = 2x, Ay = 3y, Az = 4z$ であるから、 $AB = A(x, y, z) = (Ax, Ay, Az) = (2x, 3y, 4z)$ 従って、 $AB = (2x_i, 3y_j, 4z_k) ,(1 \leq i, j, k \leq 3)$

(2) $A$ は実対称行列であるから、固有ベクトル $x, y, z$ は互いに直交する。したがって $(x, y) = 0$ (b) が正しい。理由：実対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交するから。

(3) ${}^tBB = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} |x|^2 & (x,y) & (x,z) \\ (y,x) & |y|^2 & (y,z) \\ (z,x) & (z,y) & |z|^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

(4) $|B|^2 = |{}^tBB| = 1 \cdot 4 \cdot 9 = 36$ より、 $|\det B| = \sqrt{36} = 6$