筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2019年2月実施 微积分

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• Integration

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

実関数 $f(x)$ を以下のように定める.

$$f(x) = \frac{1}{x(1-x)}$$

以下のA, Bに答えよ。

(A) $x$ を任意の実数としたとき、以下の小問に答えよ。

A-1. 以下をそれぞれ求めよ。

(i) $x$ が0に近づくときの $f(x)$ の左側極限値

(ii) $x$ が0に近づくときの $f(x)$ の右側極限値

(iii) $x$ が1に近づくときの $f(x)$ の左側極限値

(iv) $x$ が1に近づくときの $f(x)$ の右側極限値

( $x$ が $a$ に近づくときの左側極限値は $\lim_{x \to a-0} f(x)$ , $\lim_{x \to a^{-}} f(x)$ 等と表記され、 $x$ が $a$ に近づくときの右側極限値は $\lim_{x \to a+0} f(x)$ , $\lim_{x \to a^{+}} f(x)$ 等と表記される.)

A-2. $y = f(x)$ のグラフを描け.

A-3. $\int_{\frac{1}{2}}^1 f(x)dx$ を求めよ。

(B) $x$ を $0 < x < 1$ を満たす実数としたとき、以下の小問に答えよ。

B-1. $\int_x^{\frac{1}{2}} f(x)dx = t$ としたとき, $x = g(t)$ を求めよ。ただし, $g(0) = \frac{1}{2}$ とする.

B-2. $\lim_{t \to \infty} g(t)$ と $\lim_{t \to -\infty} g(t)$ をそれぞれ求めよ.

B-3. $x = g(t)$ のグラフを描け。

题目描述

定义实函数

$$f(x)=\frac{1}{x(1-x)}.$$

完成 A、B 两部分。

A. 令 $x$ 为任意实数。

1. 分别求以下四个单侧极限：

   $$\text{(i)}\ \lim_{x\to0^-}f(x),\qquad \text{(ii)}\ \lim_{x\to0^+}f(x),$$
   $$\text{(iii)}\ \lim_{x\to1^-}f(x),\qquad \text{(iv)}\ \lim_{x\to1^+}f(x).$$

   题面同时说明，左极限可记作 $\lim_{x\to a-0}f(x)$ 或 $\lim_{x\to a^-}f(x)$，右极限可记作 $\lim_{x\to a+0}f(x)$ 或 $\lim_{x\to a^+}f(x)$。

2. 画出 $y=f(x)$ 的图像。

3. 求广义积分

   $$\int_{1/2}^{1}f(x)\,dx.$$

B. 以下令 $0<x<1$。

1. 当

   $$\int_x^{1/2}f(u)\,du=t$$

   时，将 $x$ 反解为 $x=g(t)$，并满足 $g(0)=\frac12$。原题积分中把被积变量也写作 $x$；这里依 Kai 唯一可确定的含义改用哑变量 $u$，积分上下限和题意不变。

2. 分别求

   $$\lim_{t\to+\infty}g(t) \quad\text{与}\quad \lim_{t\to-\infty}g(t).$$

3. 画出 $x=g(t)$ 的图像。

Kai

A-1.

(i) $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x(1-x)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{1-x} = (-\infty)(1) = -\infty$

(ii) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x(1-x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1-x} = (+\infty)(1) = +\infty$

(iii) $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x(1-x)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1-x} = (1)(+\infty) = +\infty$

(iv) $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x(1-x)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x} = (1)(-\infty) = -\infty$

A-2.

The graph of $y = f(x) = \frac{1}{x(1-x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x}$ has vertical asymptotes at $x=0$ and $x=1$ . The function is symmetric about $x = \frac{1}{2}$ .

A-3.

$\int_{\frac{1}{2}}^1 f(x) dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{x(1-x)} dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 (\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x}) dx = [\ln|x| - \ln|1-x|]_{\frac{1}{2}}^1 = [\ln|\frac{x}{1-x}|]_{\frac{1}{2}}^1$

Since $\lim_{x \to 1^-} \ln|\frac{x}{1-x}| = \infty$ , the integral diverges.

B-1.

$\int_x^{\frac{1}{2}} f(u) du = \int_x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{u} + \frac{1}{1-u}) du = [\ln|u| - \ln|1-u|]_x^{\frac{1}{2}} = [\ln|\frac{u}{1-u}|]_x^{\frac{1}{2}} = \ln|\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}| - \ln|\frac{x}{1-x}| = \ln(1) - \ln(\frac{x}{1-x}) = -\ln(\frac{x}{1-x}) = t$

$\ln(\frac{x}{1-x}) = -t$

$\frac{x}{1-x} = e^{-t}$

$x = e^{-t} - xe^{-t}$

$x(1 + e^{-t}) = e^{-t}$

$x = \frac{e^{-t}}{1 + e^{-t}} = \frac{1}{e^t + 1} = g(t)$

B-2.

$\lim_{t \to \infty} g(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^t + 1} = 0$

$\lim_{t \to -\infty} g(t) = \lim_{t \to -\infty} \frac{1}{e^t + 1} = 1$

B-3.

The graph of $x = g(t) = \frac{1}{e^t + 1}$ is a decreasing function from $x=1$ to $x=0$ as $t$ increases from $-\infty$ to $\infty$ . $g(0) = \frac{1}{e^0 + 1} = \frac{1}{2}$ .