筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2019年2月実施 线性代数

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• Tsukuba-University
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Linear-Independence
• Basis-and-Dimension
• Matrix-Inverse

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$V = \mathbb{R}^n$ とする。ただし, $n$ は 1 以上の整数である. 以下の問いに答えなさい。

(1) $w_1, w_2, ..., w_k$ を $V$ 中の $k$ 個のベクトルとする。この $k$ 個のベクトルが一次独立であることの定義を記しなさい。

(2) ${v_1, v_2, ..., v_n}$ が $V$ の基底であるとする。以下の (a)〜(e) のうち, 必ず成り立つものをすべて選びなさい。

(a) $v_1, v_2,..., v_n$ は一次独立である。 (b) どの 2 つの異なる $i, j$ についても, $v_i$ と $v_j$ は直交する. (c) どの $i$ についても $v_i$ の長さは 1 である。 (d) $W = (v_1, v_2,..., v_n)$ を $v_1, v_2,..., v_n$ を列ベクトルとする行列とする。このとき, $W$ の行列式は 1 または -1 である. (e) $V$ 中の任意のベクトル $x$ に対して, $x = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ··· + \lambda_n v_n$ を満たす $\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_n \in \mathbb{R}$ が存在する.

(3) ${u_1, u_2,..., u_n}$ を $V$ の基底, $A$ を $n \times n$ 実行列とし,

$$x_1 = Au_1, x_2 = Au_2,..., x_n = Au_n$$

とする. また, $U = (u_1, u_2,..., u_n)$ を $u_1, u_2,..., u_n$ を列ベクトルとする行列とし, $X = (x_1, x_2,..., x_n)$ を $x_1, x_2,..., x_n$ を列ベクトルとする行列とする. 以下の 3 つの小問に答えなさい。

(3-1) 3 つの行列 $A, U, X$ の間に成り立つ関係式を書け。

(3-2) $A$ が正則であることが $X$ が正則であることの必要十分条件となることを示せ。

(3-3) $B$ を $n \times n$ 実行列とし,

$$y_1 = Bu_1, y_2 = Bu_2, ..., y_n = Bu_n$$

とする。さらに, $C = A \times B$ として、

$$z_1 = Cu_1, z_2 = Cu_2, ..., z_n = Cu_n$$

とする. また, ${x_1, x_2,..., x_n}$ と ${y_1, y_2,..., y_n}$ はともに $V$ の基底であるとする. このとき, ${z_1, z_2,..., z_n}$ が必ず $V$ の基底となるか否かを記し, また, その理由を示せ。

题目描述

令 $V=\mathbb R^n$，其中 $n$ 为不小于 $1$ 的整数。回答下列问题：

1. 设 $w_1,w_2,\ldots,w_k$ 是 $V$ 中的 $k$ 个向量，写出这组向量线性无关的定义。

2. 设 $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 是 $V$ 的一组基。从下列陈述中选出所有必然成立者：

   1. $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 线性无关；

   2. 任意两个下标不同的向量 $v_i,v_j$ 都互相正交；

   3. 每个 $v_i$ 的长度都等于 $1$；

   4. 以 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 为列向量组成

      $$W=(v_1,v_2,\ldots,v_n),$$

      则 $\det W$ 必为 $1$ 或 $-1$；

   5. 对任意 $x\in V$，都存在 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\in\mathbb R$，使

      $$x=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\cdots+\lambda_nv_n.$$

3. 设 $\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}$ 是 $V$ 的一组基，$A$ 是 $n\times n$ 实矩阵，并令

   $$x_1=Au_1,\quad x_2=Au_2,\quad\ldots,\quad x_n=Au_n.$$

   再定义列矩阵

   $$U=(u_1,u_2,\ldots,u_n),\qquad X=(x_1,x_2,\ldots,x_n).$$

   完成以下三问：

   1. 写出 $A,U,X$ 之间的矩阵关系式。

   2. 证明 $A$ 可逆是 $X$ 可逆的必要充分条件。

   3. 另设 $B$ 为 $n\times n$ 实矩阵，并令

      $$y_i=Bu_i\quad(i=1,\ldots,n).$$

      再令 $C=A\times B$，并定义

      $$z_i=Cu_i\quad(i=1,\ldots,n).$$

      已知 $\{x_1,\ldots,x_n\}$ 与 $\{y_1,\ldots,y_n\}$ 都是 $V$ 的基。判断 $\{z_1,\ldots,z_n\}$ 是否必然也是 $V$ 的基，并说明理由。

Kai

(1) $w_1, w_2, ..., w_k$ が一次独立であるとは, スカラー $c_1, c_2, ..., c_k$ について

$$c_1 w_1 + c_2 w_2 + ... + c_k w_k = 0$$

が成り立つとき, $c_1 = c_2 = ... = c_k = 0$ が必要となることである。

(2) (a)と(e)。 (a) 基底は一次独立である. (e) $V$ 中の任意のベクトル $x$ は基底の線形結合で表せる。

(3-1) $X = AU$

(3-2) $A$ が正則であることは $X$ が正則であることの必要十分条件を示す。 $X = AU$ より $\det(X) = \det(A) \det(U)$ . $A$ が正則ならば, $\det(A) \neq 0$ . $U$ は基底なので, $U$ も正則であり $\det(U) \neq 0$ . よって, $\det(X) \neq 0$ となり, $X$ は正則である。 逆に, $X$ が正則ならば, $\det(X) \neq 0$ . $X = AU$ より $\det(A) \det(U) = \det(X) \neq 0$ . よって, $\det(A) \neq 0$ となり, $A$ は正則である。 したがって, $A$ が正則であることは $X$ が正則であるための必要十分条件である。

(3-3) $Z = CU = (A \times B)U = A(BU)$ . $X = (x_1, x_2, ..., x_n)$ と $Y = (y_1, y_2, ..., y_n)$ はともに $V$ の基底なので, $X$ と $Y$ は正則である。 $Y = BU$ より、 $B = YU^{-1}$ なので、 $B$ は正則行列となる。 したがって、 $A$ と $B$ は正則行列なので、 $C = AB$ も正則行列となる。 よって、 $Z = CU$ も正則行列となる。 したがって、 $z_1, z_2, ..., z_n$ は $V$ の基底となる。