筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2018年8月実施 线性代数

标签：

• Tsukuba-University
• Limit
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Linear-Transformation
• Matrix-Inverse

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

問題IとIIの両方に答えよ。問題ごとに別々の解答用紙を使用せよ。 以下では、実数全体の集合を $\mathbb{R}$ とする。

I. 写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ を

$$f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} \\ -\frac{x}{2} - \frac{z}{2} \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + z \end{pmatrix}$$

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) $f$ が線形写像であることを線形写像の定義に基づき示せ。

(2) $f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ と表すとき、行列 $A$ を求めよ。

(3) 行列 $A$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ を求めよ。ただし、 $\lambda_2$ の代数的重複度は2である。

(4) (3) で求めた行列 $A$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ に対して、

$$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$$

となるような行列 $P$ とその逆行列 $P^{-1}$ を求めよ。

(5) $n = 0, 1, 2, ...$ に対して、ベクトル $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ z_n \end{pmatrix}$ を

$$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \\ z_{n+1} \end{pmatrix} = f\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ z_n \end{pmatrix} \quad (n = 0, 1, 2, ...)$$

で定める。 $\lim_{n \to \infty} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ z_n \end{pmatrix}$ を求めよ。

题目描述

原题开头要求问题 I、II 均作答并分别使用答题纸，但当前文件的 Description 与 Kai 只包含问题 I；问题 II 的题面在本文件中缺失，无法据此唯一恢复。以下为现有问题 I 的完整内容。

定义映射 $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$：

$$f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+\dfrac y2+\dfrac z2\\[3pt] -\dfrac x2-\dfrac z2\\[3pt] \dfrac x2+\dfrac y2+z \end{pmatrix}.$$

1. 直接依据线性映射的定义证明 $f$ 是线性映射。

2. 当

   $$f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

   时，求矩阵 $A$。

3. 求 $A$ 的两个不同特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，其中 $\lambda_2$ 的代数重数为 $2$。

4. 对上问所得的 $\lambda_1,\lambda_2$，求矩阵 $P$ 及其逆矩阵 $P^{-1}$，使

   $$P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_1&0&0\\ 0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_2 \end{pmatrix}.$$

5. 对 $n=0,1,2,\ldots$，以

   $$\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\\z_{n+1}\end{pmatrix} = f\begin{pmatrix}x_n\\y_n\\z_n\end{pmatrix}$$

   定义向量数列。求

   $$\lim_{n\to\infty} \begin{pmatrix}x_n\\y_n\\z_n\end{pmatrix}.$$

Kai

(1)

$$f(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}) =\alpha f(\mathbf{x})+\beta f(\mathbf{y})$$

を示せばよい。

ここで

$$\mathbf{x} =\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{y} =\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{pmatrix}$$

とする。

このとき

$$\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y} = \begin{pmatrix} \alpha x_1+\beta y_1\\ \alpha x_2+\beta y_2\\ \alpha x_3+\beta y_3 \end{pmatrix}$$

であるから，

$$f(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} (\alpha x_1+\beta y_1) +\dfrac{\alpha x_2+\beta y_2}{2} +\dfrac{\alpha x_3+\beta y_3}{2} \\[6pt] -\dfrac{\alpha x_1+\beta y_1}{2} -\dfrac{\alpha x_3+\beta y_3}{2} \\[6pt] \dfrac{\alpha x_1+\beta y_1}{2} +\dfrac{\alpha x_2+\beta y_2}{2} +(\alpha x_3+\beta y_3) \end{pmatrix}$$

これを整理すると，

$$= \begin{pmatrix} \alpha\!\left(x_1+\dfrac{x_2}{2}+\dfrac{x_3}{2}\right) +\beta\!\left(y_1+\dfrac{y_2}{2}+\dfrac{y_3}{2}\right) \\[6pt] \alpha\!\left(-\dfrac{x_1}{2}-\dfrac{x_3}{2}\right) +\beta\!\left(-\dfrac{y_1}{2}-\dfrac{y_3}{2}\right) \\[6pt] \alpha\!\left(\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_2}{2}+x_3\right) +\beta\!\left(\dfrac{y_1}{2}+\dfrac{y_2}{2}+y_3\right) \end{pmatrix}$$

よって

$$f(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}) = \alpha \begin{pmatrix} x_1+\dfrac{x_2}{2}+\dfrac{x_3}{2}\\[4pt] -\dfrac{x_1}{2}-\dfrac{x_3}{2}\\[4pt] \dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_2}{2}+x_3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} y_1+\dfrac{y_2}{2}+\dfrac{y_3}{2}\\[4pt] -\dfrac{y_1}{2}-\dfrac{y_3}{2}\\[4pt] \dfrac{y_1}{2}+\dfrac{y_2}{2}+y_3 \end{pmatrix}$$

となり，

$$f(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}) =\alpha f(\mathbf{x})+\beta f(\mathbf{y})$$

が示された。

(2)

$$A= \begin{pmatrix} 1 & \dfrac12 & \dfrac12\\ -\dfrac12 & 0 & -\dfrac12\\ \dfrac12 & \dfrac12 & 1 \end{pmatrix}$$

(3)

$$|A-\lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & \dfrac12 & \dfrac12\\ -\dfrac12 & -\lambda & -\dfrac12\\ \dfrac12 & \dfrac12 & 1-\lambda \end{vmatrix}$$

展開すると

$$=(1-\lambda) \left(-\lambda(1-\lambda)+\dfrac14\right) -\dfrac12 \left(-\dfrac12(1-\lambda)+\dfrac14\right) +\dfrac12 \left(-\dfrac14+\dfrac{\lambda}{2}\right)$$

これを整理して

$$=(1-\lambda)\left(\lambda-\dfrac12\right)^2$$

したがって

$$\lambda_1=1,\quad \lambda_2=\dfrac12$$

(4) $\lambda_1=1$ のとき，

$$(A-I)\mathbf{p}_1=0$$

より

$$\begin{cases} y+z=0\\ -x-2y-z=0\\ x+y=0 \end{cases}$$

となる。 よって

$$x=-y=z$$

であり，

$$\mathbf{p}_1= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$$

などが固有ベクトルである。

次に $\lambda_2=\dfrac12$ のとき，

$$(A-\tfrac12 I)\mathbf{p}_2=0$$

より

$$x+y+z=0$$

を得る。 したがって

$$\mathbf{p}_2= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{p}_3= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$$

などを取ることができる。

$$P= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

(5)

$$\begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1}\\ z_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_n\\ y_n\\ z_n \end{pmatrix}$$

より

$$\begin{pmatrix} x_n\\ y_n\\ z_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$$

また

$$A = P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (\tfrac12) & 0\\ 0 & 0 & (\tfrac12) \end{pmatrix} P^{-1}$$

より

$$A^n = P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (\tfrac12)^n & 0\\ 0 & 0 & (\tfrac12)^n \end{pmatrix} P^{-1}$$

したがって

$$\begin{pmatrix} x_n\\ y_n\\ z_n \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (\tfrac12)^n & 0\\ 0 & 0 & (\tfrac12)^n \end{pmatrix} P^{-1} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$$

計算すると

$$\begin{pmatrix} x_n\\ y_n\\ z_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2(\tfrac12)^n\\ -3+4(\tfrac12)^n\\ 3-2(\tfrac12)^n \end{pmatrix}$$

よって

$$\lim_{n\to\infty} \begin{pmatrix} x_n\\ y_n\\ z_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3\\ 3 \end{pmatrix}$$