筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2017年8月実施 微分積分

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

実関数

$$f(x) = \frac{4}{x^2+1}$$

に関して以下の問いに答えよ。

(1) $x$ が実数全体を動くときの $f(x)$ の下限 $\inf\{f(x) | x \in \mathbb{R}\}$ を求めよ。

(2) $x$ が実数全体を動くときの $f(x) + x^2$ の最小値 $\min\{f(x) + x^2 | x \in \mathbb{R}\}$ を求めよ。

(3) 以下の極限を計算せよ。

(i) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{f(x) - 4}$

(ii) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{f(x) - 4}$

(4) $x = \tan\theta$ と置換することにより $\int_1^{\infty} f(x) dx$ を計算せよ。

(5) $\iint_D f(\sqrt{x^2+y^2})dxdy$ を計算せよ。ただし, $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \leq 4\}$ とする。

题目描述

给定实函数

$$f(x)=\frac{4}{x^2+1}.$$

回答下列问题：

1. 当 $x$ 遍历全体实数时，求

   $$\inf\{f(x)\mid x\in\mathbb R\}.$$

2. 当 $x$ 遍历全体实数时，求

   $$\min\{f(x)+x^2\mid x\in\mathbb R\}.$$

3. 分别计算

   $$\text{(i)}\quad \lim_{x\to0}\frac{x^2}{f(x)-4}, \qquad \text{(ii)}\quad \lim_{x\to0}\frac{e^x-x-1}{f(x)-4}.$$

4. 按题目指定使用代换 $x=\tan\theta$，计算

   $$\int_1^\infty f(x)\,dx.$$

5. 令

   $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq4\},$$

   即以原点为圆心、半径为 $2$ 的闭圆盘。计算

   $$\iint_D f\!\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\,dx\,dy.$$

Kai

(1) $f(x)=\dfrac{4}{x^2+1}$ とする。 $x^2\ge 0$ より $x^2+1\ge 1$ が成り立つので，

$$0<\frac{1}{x^2+1}\le 1$$

である。したがって

$$0<f(x)=\frac{4}{x^2+1}\le 4$$

となる。 また $x\to\pm\infty$ のとき $f(x)\to 0$ であるから，

$$\inf\{f(x)\mid x\in\mathbb{R}\}=0$$

である。

(2) $g(x)=f(x)+x^2=\dfrac{4}{x^2+1}+x^2$ とおく。 最小値を求めるため導関数を計算すると，

$$g'(x) =-\frac{8x}{(x^2+1)^2}+2x =2x\left(1-\frac{4}{(x^2+1)^2}\right)$$

となる。 よって

$$g'(x)=0 \iff x=0 \ \text{または}\ (x^2+1)^2=4$$

であり，後者から $x^2=1$ ，すなわち $x=\pm1$ を得る。

それぞれの値を計算すると，

$$g(0)=4,\quad g(1)=3,\quad g(-1)=3$$

である。 したがって

$$\min\{f(x)+x^2\mid x\in\mathbb{R}\}=3$$

となる。実際、 $g(x)-3=(x^2-1)^2/(x^2+1)\geq0$ である。

(3) (i)

$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{f(x)-4} =\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\frac{4}{x^2+1}-4} =\lim_{x\to 0}\frac{x^2(x^2+1)}{-4x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{x^2+1}{-4} =-\frac14$$

(ii) テイラー展開

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)$$

を用いると，

$$e^x-x-1=\frac{x^2}{2}+O(x^3)$$

である。 一方，

$$f(x)-4=\frac{4}{x^2+1}-4=-\frac{4x^2}{x^2+1}$$

より，

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-x-1}{f(x)-4} =\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{-\frac{4x^2}{x^2+1}} =\lim_{x\to 0}\frac{x^2+1}{-8} =-\frac18$$

(4) $x=\tan\theta$ とおくと， $dx=\sec^2\theta\,d\theta$ ，

$$f(x)=\frac{4}{x^2+1} =\frac{4}{\sec^2\theta} =4\cos^2\theta$$

となる。 $x=1$ のとき $\theta=\frac{\pi}{4}$ ， $x\to\infty$ のとき $\theta\to\frac{\pi}{2}$ であるから，

$$\int_1^{\infty}f(x)\,dx =\int_{\pi/4}^{\pi/2} 4\cos^2\theta\,\sec^2\theta\,d\theta =\int_{\pi/4}^{\pi/2}4\,d\theta =\pi$$

(5) $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}$ は半径 $2$ の円盤である。 極座標

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dxdy=r\,dr\,d\theta$$

を用いると，

$$\iint_D f(\sqrt{x^2+y^2})\,dxdy =\int_0^{2\pi}\int_0^2\frac{4}{r^2+1}r\,dr\,d\theta$$

となる。 よって

$$= \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^2\frac{4r}{r^2+1}\,dr =2\pi\left[2\ln(r^2+1)\right]_0^2 =4\pi\ln 5$$