筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2018年2月実施 微分積分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

実関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を

$$f(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$$

で定義する。以下の問いに答えよ。

(1) 極限 $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ と $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を計算せよ。

(2) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と 2階導関数 $f''(x)$ を計算せよ。

(3) (1), (2) の結果を用いて $y = f(x)$ のグラフを描け。

(4) $\int_{-t}^t f(x) dx = 10$ となる実数 $t$ を求めよ。

(5) 実数 $x, y$ が $4e^x + e^y = 7$ を満たすとき, $f(x) + f(y)$ の最大値を求めよ。

题目描述

定义实函数

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}.$$

回答下列问题：

1. 计算

   $$\lim_{x\to-\infty}f(x) \quad\text{和}\quad \lim_{x\to+\infty}f(x).$$

2. 求一阶导数 $f'(x)$ 和二阶导数 $f''(x)$。

3. 利用前两问所得的无穷远极限、单调性和凹凸性，画出曲线 $y=f(x)$ 的图像。

4. 求满足

   $$\int_{-t}^{t}f(x)\,dx=10$$

   的实数 $t$。

5. 当实数 $x,y$ 满足

   $$4e^x+e^y=7$$

   时，求 $f(x)+f(y)$ 的最大值。

Kai

(1) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{1+e^x} = \frac{0}{1+0} = 0$ $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1+e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{-x}+1} = \frac{1}{0+1} = 1$

(2) $f'(x) = \frac{e^x(1+e^x) - e^x e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x}{(1+e^x)^2}$ $f''(x) = \frac{e^x(1+e^x)^2 - e^x \cdot 2(1+e^x)e^x}{(1+e^x)^4} = \frac{e^x(1+e^x) - 2e^{2x}}{(1+e^x)^3} = \frac{e^x - e^{2x}}{(1+e^x)^3} = \frac{e^x(1-e^x)}{(1+e^x)^3}$

(3) $f(x)$ のグラフを描く。 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ , $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ $f'(x) > 0$ なので、単調増加。 $f''(x) = 0$ となるのは $x=0$ のとき。 $x<0$ では $f''(x) > 0$ , $x>0$ では $f''(x) < 0$ なので、 $x=0$ で変曲点を持つ。 変曲点は $(0, \frac{1}{2})$ 。

(4) $\int_{-t}^t f(x) dx = \int_{-t}^t \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int_{-t}^t \frac{(1+e^x)'}{1+e^x} dx = [\ln(1+e^x)]_{-t}^t = \ln(1+e^t) - \ln(1+e^{-t}) = \ln(\frac{1+e^t}{1+e^{-t}}) = \ln(\frac{1+e^t}{1+\frac{1}{e^t}}) = \ln(\frac{1+e^t}{\frac{e^t+1}{e^t}}) = \ln(e^t) = t$ $\int_{-t}^t f(x) dx = t = 10$

(5) $u=e^x$ とおく。 $e^x>0$ かつ $e^y=7-4e^x>0$ であるから、 $u$ の範囲は

$$0<u<\frac{7}{4}$$

である。このとき

$$F(u)=f(x)+f(y) =\frac{u}{1+u}+\frac{7-4u}{8-4u}$$

であり、

$$F'(u) =\frac{1}{(1+u)^2}-\frac{4}{(8-4u)^2}.$$

$0<u<7/4$ では $1+u>0,\ 8-4u>0$ なので、

$$\operatorname{sgn}F'(u) =\operatorname{sgn}\left( \frac{1}{1+u}-\frac{2}{8-4u} \right) =\operatorname{sgn}(1-u).$$

したがって $F$ は $(0,1)$ で増加し、 $(1,7/4)$ で減少する。よって最大値は $u=1$ 、すなわち

$$x=0,\qquad e^y=3\quad (y=\ln 3)$$

のときに取り、

$$\max\{f(x)+f(y)\} =f(0)+f(\ln 3) =\frac12+\frac34 =\frac54$$

である。