筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2018年2月実施 线性代数

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• Tsukuba-University
• Basis-and-Dimension
• Linear-Transformation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

2次の実正方行列全体の集合をV とする.すなわち,

$$V = \left\{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \mid x, y, z, w \in \mathbb{R} \right\}$$

とする。また、2次の実正方行列 $X \in V$ に対して $f(X) = AX$ と定めることにより、写像 $f: V \to V$ を定義する。ただし、

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

とする。以下の問いに答えよ。 (1) 行列 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ を

$$E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

と定義する。

$$X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \in V$$

を $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ の線形結合で表せ。 (2) $E_{11}$ と $E_{12}$ で張られる(生成される) 空間をUとする。以下を証明せよ。 (i) $X_1 \in U, X_2 \in U$ ならば $X_1 + X_2 \in U$ . (ii) $X \in U, k \in \mathbb{R}$ ならば $kX \in U$ . (3) $f$ が線形写像であることを線形写像の定義に基づき示せ。 (4) 写像fの核空間 $Kerf = \{ X \in V \mid f(X) = O \}$ の基底を一組求め, $Kerf$ の次元を答えよ。ただし、 $O$ は零行列とする。 (5) 写像fの像空間 $Imf$ の基底を一組求め, $Imf$ の次元を答えよ。

题目描述

令 $V$ 为全体二阶实方阵组成的集合，即

$$V=\left\{ \begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix} \mathrel{}\middle|\mathrel{} x,y,z,w\in\mathbb R \right\}.$$

对 $X\in V$，以

$$f(X)=AX,\qquad A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$$

定义映射 $f:V\to V$。回答下列问题：

1. 定义

   $$E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

   将任意

   $$X=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}\in V$$

   表示为 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 的线性组合。

2. 令 $U=\operatorname{span}\{E_{11},E_{12}\}$，证明：

   1. 若 $X_1,X_2\in U$，则 $X_1+X_2\in U$；
   2. 若 $X\in U$、$k\in\mathbb R$，则 $kX\in U$。

3. 直接依据线性映射的定义，证明 $f$ 是线性映射。

4. 求核空间

   $$\ker f=\{X\in V\mid f(X)=O\}$$

   的一组基，并求 $\dim(\ker f)$，其中 $O$ 为零矩阵。

5. 求像空间 $\operatorname{Im}f$ 的一组基，并求 $\dim(\operatorname{Im}f)$。

Kai

(1) $X = xE_{11} + yE_{12} + zE_{21} + wE_{22}$

(2) U is the set of matrices of the form $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ where a, b are real numbers. (i) Let $X_1 = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ and $X_2 = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Then $X_1 + X_2 = \begin{pmatrix} a_1 + a_2 & b_1 + b_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in U$ since $a_1+a_2$ and $b_1+b_2$ are real numbers. (ii) Let $X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in U$ and $k \in \mathbb{R}$ . Then $kX = \begin{pmatrix} ka & kb \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in U$ since $ka$ and $kb$ are real numbers.

(3) To prove $f$ is a linear transformation, we must show that $f(X_1 + X_2) = f(X_1) + f(X_2)$ and $f(cX) = c f(X)$ for all $X_1, X_2, X \in V$ and $c \in \mathbb{R}$ . $f(X_1 + X_2) = A(X_1 + X_2) = AX_1 + AX_2 = f(X_1) + f(X_2)$ . $f(cX) = A(cX) = c(AX) = cf(X)$ . Thus, $f$ is a linear transformation.

(4) $Ker f = \{ X \in V | f(X) = AX = 0 \}$ . Let $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ . Then $AX = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2z & y + 2w \\ 2x + 4z & 2y + 4w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . This implies $x + 2z = 0$ and $y + 2w = 0$ . Thus $x = -2z$ and $y = -2w$ . $X = \begin{pmatrix} -2z & -2w \\ z & w \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . So, a basis for Ker f is $\{\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \}$ . The dimension of Ker f is 2.

(5) $Im f = \{ AX | X \in V \}$ . Let $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ . $AX = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2z & y + 2w \\ 2x + 4z & 2y + 4w \end{pmatrix} = (x+2z) \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} + (y+2w) \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = (x+2z)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + (y+2w) \begin{pmatrix} 0& 1 \\ 0& 2 \end{pmatrix}$ . The two coefficients $x+2z$ and $y+2w$ can be chosen independently as arbitrary real numbers. Thus, a basis for $Im f$ is

$$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \right\}.$$

Therefore, $\dim(Im f)=2$ .