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筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2017年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

II. 実関数 f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x} に関して以下の問いに答えよ。

(1) max⁡{f(x)∣x∈R}\max \{f(x) | x \in \mathbb{R}\} と min⁡{f(x)∣x∈R}\min \{f(x) | x \in \mathbb{R}\} の値をそれぞれ求めよ。ただし，値が存在しない場合には，「存在しない」と答えよ。

(2) 3 次関数 g(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3g(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 が， f(0)=g(0),f′(0)=g′(0),f′′(0)=g′′(0),f′′′(0)=g′′′(0)f(0) = g(0), f'(0) = g'(0), f''(0) = g''(0), f'''(0) = g'''(0) を満たすとする。 a0,a1,a2,a3a_0, a_1, a_2, a_3 の値を求めよ。

(3) 0≤x≤40 \le x \le 4 を満たす全ての xx に対して， g(x)≥f(x)g(x) \ge f(x) が成り立つことを示せ。

(4) ∫−2+∞∣f(x)∣dx\int_{-2}^{+\infty} |f(x)| dx を計算せよ。

(5) ∬Df(x+y)dxdy\iint_D f(x + y) dxdy を計算せよ。ただし， D={(x,y)∣x≥0,0≤y≤1}D = \{(x, y) | x \ge 0, 0 \le y \le 1\} とする。

题目描述​

当前条目从原试题的第 II 题开始；第 I 题未出现在本文件的 Description 中，Kai 也未提供其题面，因此无法由本文件唯一恢复。现有第 II 题给定实函数

f(x)=xe−x,f(x)=xe^{-x},

并要求完成以下各问：

  1. 分别求

    max⁡{f(x)∣x∈R},min⁡{f(x)∣x∈R};\max\{f(x)\mid x\in\mathbb R\},\qquad \min\{f(x)\mid x\in\mathbb R\};

    某一值若不存在，应明确回答“不存在”。

  2. 设三次函数

    g(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3

    满足

    f(0)=g(0),f′(0)=g′(0),f′′(0)=g′′(0),f′′′(0)=g′′′(0).f(0)=g(0),\quad f'(0)=g'(0),\quad f''(0)=g''(0),\quad f'''(0)=g'''(0).

    求 a0,a1,a2,a3a_0,a_1,a_2,a_3。

  3. 证明对所有 0≤x≤40\leq x\leq4，都有 g(x)≥f(x)g(x)\geq f(x)。

  4. 计算绝对值广义积分

    ∫−2+∞∣f(x)∣ dx.\int_{-2}^{+\infty}|f(x)|\,dx.

  5. 设

    D={(x,y)∣x≥0, 0≤y≤1},D=\{(x,y)\mid x\geq0,\ 0\leq y\leq1\},

    计算

    ∬Df(x+y) dx dy.\iint_D f(x+y)\,dx\,dy.

Kai​

(1) f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x} について考える。 f′(x)=e−x−xe−x=(1−x)e−xf'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x} f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは x=1x = 1 のとき。 x<1x < 1 のとき f′(x)>0f'(x) > 0 , x>1x > 1 のとき f′(x)<0f'(x) < 0 なので、 x=1x = 1 で最大値をとる。 max⁡{f(x)∣x∈R}=f(1)=e−1=1e\max\{f(x) | x \in \mathbb{R}\} = f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} 。 一方、

lim⁡x→−∞xe−x=−∞\lim_{x\to-\infty}xe^{-x}=-\infty

であるから、 ff は下に有界でない。したがって

min⁡{f(x)∣x∈R}\min\{f(x)\mid x\in\mathbb{R}\}

は存在しない。

(2) f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x} より f(0)=0f(0) = 0 f′(x)=(1−x)e−xf'(x) = (1-x)e^{-x} より f′(0)=1f'(0) = 1 f′′(x)=−e−x−(1−x)e−x=(x−2)e−xf''(x) = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x} より f′′(0)=−2f''(0) = -2 f′′′(x)=e−x−(x−2)e−x=(3−x)e−xf'''(x) = e^{-x} - (x-2)e^{-x} = (3-x)e^{-x} より f′′′(0)=3f'''(0) = 3

g(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3g(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 より g(0)=a0g(0) = a_0 g′(x)=a1+2a2x+3a3x2g'(x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 より g′(0)=a1g'(0) = a_1 g′′(x)=2a2+6a3xg''(x) = 2a_2 + 6a_3x より g′′(0)=2a2g''(0) = 2a_2 g′′′(x)=6a3g'''(x) = 6a_3 より g′′′(0)=6a3g'''(0) = 6a_3

f(0)=g(0),f′(0)=g′(0),f′′(0)=g′′(0),f′′′(0)=g′′′(0)f(0) = g(0), f'(0) = g'(0), f''(0) = g''(0), f'''(0) = g'''(0) より a0=0,a1=1,2a2=−2,6a3=3a_0 = 0, a_1 = 1, 2a_2 = -2, 6a_3 = 3 。 よって a0=0,a1=1,a2=−1,a3=12a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = -1, a_3 = \frac{1}{2} 。

(3) g(x)=x−x2+12x3g(x) = x - x^2 + \frac{1}{2}x^3 。 x≥0x\ge0 に対して

q(x)=1−x+x22−e−xq(x)=1-x+\frac{x^2}{2}-e^{-x}

とおくと、

q(0)=q′(0)=0,q′′(x)=1−e−x≥0.q(0)=q'(0)=0,\qquad q''(x)=1-e^{-x}\ge0.

したがって q′(x)≥0q'(x)\ge0 、さらに q(x)≥0q(x)\ge0 である。ゆえに 0≤x≤40\le x\le4 では

g(x)−f(x)=x(1−x+x22−e−x)=xq(x)≥0.g(x)-f(x) =x\left(1-x+\frac{x^2}{2}-e^{-x}\right) =xq(x)\ge0.

よって、すべての 0≤x≤40\le x\le4 に対して g(x)≥f(x)g(x)\ge f(x) が成り立つ。

(4) ∫−2+∞∣f(x)∣dx=∫−2+∞∣xe−x∣dx=∫−20−xe−xdx+∫0+∞xe−xdx\int_{-2}^{+\infty} |f(x)|dx = \int_{-2}^{+\infty} |xe^{-x}|dx = \int_{-2}^{0} -xe^{-x}dx + \int_{0}^{+\infty} xe^{-x}dx 。 ∫xe−xdx=−xe−x−e−x+C\int xe^{-x}dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C より ∫−20−xe−xdx=[xe−x+e−x]−20=1−(−2e2+e2)=1+e2\int_{-2}^{0} -xe^{-x}dx = [xe^{-x} + e^{-x}]_{-2}^0 = 1 - (-2e^2 + e^2) = 1 + e^2 ∫0+∞xe−xdx=[−xe−x−e−x]0+∞=0−(−1)=1\int_{0}^{+\infty} xe^{-x}dx = [-xe^{-x} - e^{-x}]_0^{+\infty} = 0 - (-1) = 1 。 よって ∫−2+∞∣f(x)∣dx=1+e2+1=2+e2\int_{-2}^{+\infty} |f(x)|dx = 1 + e^2 + 1 = 2 + e^2 。

(5) ∬Df(x+y)dxdy=∫01∫0∞(x+y)e−(x+y)dxdy\iint_D f(x + y)dxdy = \int_0^1 \int_0^{\infty} (x+y)e^{-(x+y)} dxdy 。 内側の積分で u=x+yu=x+y とおくと、

∫0∞(x+y)e−(x+y) dx=∫y∞ue−u du=(y+1)e−y.\int_0^\infty (x+y)e^{-(x+y)}\,dx =\int_y^\infty ue^{-u}\,du =(y+1)e^{-y}.

したがって

∬Df(x+y) dxdy=∫01(y+1)e−y dy=[−(y+2)e−y]01=2−3e.\iint_D f(x+y)\,dxdy =\int_0^1(y+1)e^{-y}\,dy =\left[-(y+2)e^{-y}\right]_0^1 =2-\frac3e.
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