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筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2017年8月実施 线性代数

标签：

Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

4×44\times 4 実行列 AA と4つの線形独立な4次元実ベクトル v1,v2,v3,v4\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 を次のように与える。

A=(−220221−2−10−2022−121),v1=(1101),v2=(2−10−1),v3=(012−1),v4=(0−111).A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

また、実数のパラメータ a,b,c,da, b, c, d を用い、ベクトル u\mathbf{u} を次のように与える。

u=av1+bv2+cv3+dv4.\mathbf{u} = a\mathbf{v}_1 + b\mathbf{v}_2 + c\mathbf{v}_3 + d\mathbf{v}_4.
Au=(pqrs)A\mathbf{u} = \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \\ s \end{pmatrix}

とする.以下の問いに答えよ.

(1) 4つのベクトル v1,v2,v3,v4\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 はいずれも行列 AA の固有ベクトルである.各ベクトルに対する固有値をそれぞれ答えよ.

(2) 次の式を満たす x,y,z,wx, y, z, w を求めよ.ただし, a,b,c,da, b, c, d をパラメータとして含んでよい.

(pqrs)=xv1+yv2+zv3+wv4.\begin{pmatrix} p \\ q \\ r \\ s \end{pmatrix} = x\mathbf{v}_1 + y\mathbf{v}_2 + z\mathbf{v}_3 + w\mathbf{v}_4.

(3) 行列 VV を次のように与える.

V=(v1,v2,v3,v4)=(12001−11−100211−1−11).V = (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

次の式を満たす 4×44\times 4 実行列 XX を求めよ.

(pqrs)=VX(abcd).\begin{pmatrix} p \\ q \\ r \\ s \end{pmatrix} = VX \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}.

(4) 行列 VV は逆行列 V−1V^{-1} を持つ. V−1V^{-1} を求めよ.

(5) 次の式を満たす 4×44\times 4 実行列 BB を求めよ.

(abcd)=B(pqrs).\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = B \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \\ s \end{pmatrix}.

题目描述​

给定 4×44\times4 实矩阵

A=(−220221−2−10−2022−121)A=\begin{pmatrix} -2&2&0&2\\ 2&1&-2&-1\\ 0&-2&0&2\\ 2&-1&2&1 \end{pmatrix}

以及四个线性无关的四维实向量

v1=(1101),v2=(2−10−1),v3=(012−1),v4=(0−111).\mathbf v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \mathbf v_2=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\-1\end{pmatrix},\quad \mathbf v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\2\\-1\end{pmatrix},\quad \mathbf v_4=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\1\end{pmatrix}.

对实参数 a,b,c,da,b,c,d，令

u=av1+bv2+cv3+dv4,Au=(pqrs).\mathbf u=a\mathbf v_1+b\mathbf v_2+c\mathbf v_3+d\mathbf v_4, \qquad A\mathbf u=\begin{pmatrix}p\\q\\r\\s\end{pmatrix}.

回答下列问题：

  1. 已知 v1,v2,v3,v4\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf v_4 均为 AA 的特征向量，分别求与它们对应的特征值。

  2. 求满足

    (pqrs)=xv1+yv2+zv3+wv4\begin{pmatrix}p\\q\\r\\s\end{pmatrix} =x\mathbf v_1+y\mathbf v_2+z\mathbf v_3+w\mathbf v_4

    的 x,y,z,wx,y,z,w；答案可以含参数 a,b,c,da,b,c,d。

  3. 令

    V=(v1,v2,v3,v4)=(12001−11−100211−1−11).V=(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf v_4) =\begin{pmatrix} 1&2&0&0\\ 1&-1&1&-1\\ 0&0&2&1\\ 1&-1&-1&1 \end{pmatrix}.

    求满足

    (pqrs)=VX(abcd)\begin{pmatrix}p\\q\\r\\s\end{pmatrix} =VX\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}

    的 4×44\times4 实矩阵 XX。

  4. 已知 VV 可逆，求 V−1V^{-1}。

  5. 求满足

    (abcd)=B(pqrs)\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} =B\begin{pmatrix}p\\q\\r\\s\end{pmatrix}

    的 4×44\times4 实矩阵 BB。

Kai​

(1)

Av1=(−220221−2−10−2022−121)(1101)=(2202)=2v1A\mathbf{v}_1 =\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 & 2\\ 2 & 1 & -2 & -1\\ 0 & -2 & 0 & 2\\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} =2\mathbf{v}_1

となるので， v1\mathbf{v}_1 に対応する固有値は 22 である。

次に，

Av2=(−220221−2−10−2022−121)(2−10−1)=(−8404)=−4v2A\mathbf{v}_2 =\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 & 2\\ 2 & 1 & -2 & -1\\ 0 & -2 & 0 & 2\\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\ 4\\ 0\\ 4 \end{pmatrix} =-4\mathbf{v}_2

となるので， v2\mathbf{v}_2 に対応する固有値は −4-4 である。

同様に，

Av3=(−220221−2−10−2022−121)(012−1)=(0−2−42)=−2v3A\mathbf{v}_3 =\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 & 2\\ 2 & 1 & -2 & -1\\ 0 & -2 & 0 & 2\\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -2\\ -4\\ 2 \end{pmatrix} =-2\mathbf{v}_3

であるから， v3\mathbf{v}_3 に対応する固有値は −2-2 である。

さらに，

Av4=(−220221−2−10−2022−121)(0−111)=(0−444)=4v4A\mathbf{v}_4 =\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 & 2\\ 2 & 1 & -2 & -1\\ 0 & -2 & 0 & 2\\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -4\\ 4\\ 4 \end{pmatrix} =4\mathbf{v}_4

となるので， v4\mathbf{v}_4 に対応する固有値は 44 である。

(2)

Au=2av1−4bv2−2cv3+4dv4A\mathbf{u} =2a\mathbf{v}_1-4b\mathbf{v}_2-2c\mathbf{v}_3+4d\mathbf{v}_4

と表されるので，一次独立性より

x=2a,y=−4b,z=−2c,w=4dx=2a,\quad y=-4b,\quad z=-2c,\quad w=4d

が成り立つ。

(3)

(1) の固有値を用いると

Au=V(20000−40000−200004)(abcd).A\mathbf{u} =V \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}.

したがって

X=(20000−40000−200004).X=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

(4)

V−1=(131301313−160−1601613−160−131313)V^{-1} = \begin{pmatrix} \frac13 & \frac13 & 0 & \frac13\\ \frac13 & -\frac16 & 0 & -\frac16\\ 0 & \frac16 & \frac13 & -\frac16\\ 0 & -\frac13 & \frac13 & \frac13 \end{pmatrix}

(5)

(3) の行列を XX とすると

(pqrs)=VX(abcd)\begin{pmatrix}p\\q\\r\\s\end{pmatrix} =VX\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}

であるから，

(abcd)=X−1V−1(pqrs).\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} =X^{-1}V^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\\s\end{pmatrix}.

よって

B=X−1V−1=(1616016−11212401240−112−161120−112112112).B=X^{-1}V^{-1} = \begin{pmatrix} \frac16 & \frac16 & 0 & \frac16\\ -\frac1{12} & \frac1{24} & 0 & \frac1{24}\\ 0 & -\frac1{12} & -\frac16 & \frac1{12}\\ 0 & -\frac1{12} & \frac1{12} & \frac1{12} \end{pmatrix}.
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