筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2017年2月実施 微积分

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

実関数

$$f(x) = \begin{cases} x + \frac{2}{x} & (x > 0) \\ -e^{x} + 3 & (x \leq 0) \end{cases}$$

に関して以下の問いに答えよ。

(1) $x$ が正の実数全体を動くときの $f(x)$ の最小値 $\min\{f(x) | x > 0\}$ を求めよ。

(2) $x$ が実数全体を動くときの $f(x)$ の最小値 $\min\{f(x) | x \in \mathbb{R}\}$ を求めよ。

(3) $x$ が負の実数全体を動くときの $f(x)$ の上限 $\sup\{f(x) | x < 0\}$ を求めよ。

(4) $\int_{-\infty}^{-1} f(x) dx$ を計算せよ。

(5) $\int_{0}^{1} x^{\alpha} f(x) dx$ が収束するための実数 $\alpha$ の条件を求めよ。

(6) 実数 $x_1, x_2$ が $x_1 > 0, x_2 \leq 0, x_1 - x_2 = 4$ を満たすとする。2点 $(x_1, f(x_1))$ と $(x_2, f(x_2))$ の間のユークリッド距離の最小値を求めよ。

题目描述

定义实函数

$$f(x)= \begin{cases} x+\dfrac{2}{x},&x>0,\\ -e^x+3,&x\leq0. \end{cases}$$

回答下列问题：

1. 当 $x$ 遍历所有正实数时，求 $\min\{f(x)\mid x>0\}$。
2. 当 $x$ 遍历全体实数时，求 $\min\{f(x)\mid x\in\mathbb{R}\}$。
3. 当 $x$ 遍历所有负实数时，求 $\sup\{f(x)\mid x<0\}$。
4. 计算广义积分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{-1}f(x)\,dx$；若不收敛，应据积分本身说明其发散。
5. 求使反常积分 $\displaystyle\int_0^1x^\alpha f(x)\,dx$ 收敛的实参数 $\alpha$ 的条件。
6. 设实数 $x_1,x_2$ 满足 $x_1>0$、$x_2\leq0$ 及 $x_1-x_2=4$。求平面上两点 $(x_1,f(x_1))$ 与 $(x_2,f(x_2))$ 之间欧氏距离的最小值。

Kai

(1) $x>0$ のとき $f(x)=x+\dfrac{2}{x}$ ．相加相乗平均より $x+\dfrac{2}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\dfrac{2}{x}}=2\sqrt{2}$ ． 等号は $x=\dfrac{2}{x}$ ，すなわち $x=\sqrt{2}$ のとき成立． よって $\min\{f(x)\mid x>0\}=2\sqrt{2}$ ．

(2) $x\le 0$ のとき $f(x)=-e^{x}+3$ ， $f'(x)=-e^{x}<0$ より単調減少． したがって $(-\infty,0]$ での最小値は $x=0$ で $f(0)=2$ ． 一方，(1)より $(0,\infty)$ での最小値は $2\sqrt{2}>2$ ． よって $\min\{f(x)\mid x\in\mathbb{R}\}=2$ （ $x=0$ ）．

(3) $x<0$ のとき $f(x)=-e^{x}+3$ ， $f'(x)=-e^{x}<0$ より単調減少． $x\to -\infty$ で $f(x)\to 3$ ， $x\to 0^-$ で $f(x)\to 2$ ． よって $\sup\{f(x)\mid x<0\}=3$ （最大値は取らない）．

(4) $x\le 0$ なので

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{-1}(-e^{x}+3)\,dx =\bigl[-e^{x}+3x\bigr]_{-\infty}^{-1}$$

． ここで $\lim_{x\to-\infty}(-e^{x}+3x)=-\infty$ より， $\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} f(x)\,dx=+\infty$ （発散）．

(5) $0<x\le 1$ では $f(x)=x+\dfrac{2}{x}$ なので

$$\displaystyle \int_{0}^{1} x^{\alpha}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}\bigl(x^{\alpha+1}+2x^{\alpha-1}\bigr)\,dx$$

． $0$ 近傍での収束条件は $\alpha+1>-1$ かつ $\alpha-1>-1$ ， すなわち $\alpha>-2$ かつ $\alpha>0$ ． よって必要十分条件は $\alpha>0$ ．

(6) $x_1-x_2=4$ より $x_1=x_2+4$ ，また $x_1>0,\ x_2\le 0$ から $-4<x_2\le 0$ ．距離の二乗は

$$d^2=(x_1-x_2)^2+\bigl(f(x_1)-f(x_2)\bigr)^2 =16+\Bigl(x_2+1+\frac{2}{x_2+4}+e^{x_2}\Bigr)^2 .$$

よって $d^2\ge 16$ ，すなわち $d\ge 4$ ． ここで $h(x)=x+1+\dfrac{2}{x+4}+e^{x}$ とおくと， $h(-3)>0,\ h(-2.9)<0$ なので中間値の定理より $(-3,-2.9)$ に $h(x)=0$ を満たす点が存在し， そのとき $f(x_1)=f(x_2)$ となって $d=4$ を達成する． したがって距離の最小値は $4$ ．