筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2017年2月実施 线性代数

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• Tsukuba-University
• Basis-and-Dimension
• Linear-Transformation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$\mathbb{R}^4$ 中の2つのベクトル $v_1, v_2$ が以下で与えられるとする。

$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

また，ある $4 \times 4$ 実行列 $A$ に対して $Av_1 = \mathbf{0}, Av_2 = \mathbf{0}$ である, つまり, $v_1$ と $v_2$ は以下で与えられる写像 $f_A$ の核空間 (零空間) に入っているとする。

$$f_A : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} \mapsto A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}.$$

次の問い (1) に答えよ。

(1) ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ が写像 $f_A$ の核空間に入っていることを示せ。

さらに， $\mathbb{R}^4$ 中の 4 つのベクトル $v_3, v_4, v_5, v_6$ が以下で与えられるとする。

$$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad v_5 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad v_6 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}.$$

以下の問い (2)〜(4) に答えよ。

(2) ベクトル $v_6$ が, 3 つのベクトル $v_3, v_4, v_5$ の張る部分空間に入っていることを示せ。 (3) 4 つのベクトル $v_3, v_4, v_5, v_6$ の張る部分空間の次元を求めよ。 (4) 次で与えられる写像 $g$ と $h$ を考える。

$$g : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} \mapsto x \cdot v_3 + y \cdot v_4 + z \cdot v_5 + w \cdot v_6,$$

$$h : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} \mapsto f_A \left( g \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} \right) \right).$$

写像 $h$ の核空間中のベクトルで零ベクトルではないものを1つ挙げ, それが実際に核空間に入っていることを示せ。

题目描述

在 $\mathbb{R}^4$ 中给定

$$v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\3\\4\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}.$$

设 $A$ 是一个 $4\times4$ 实矩阵，且 $Av_1=\mathbf 0$、$Av_2=\mathbf 0$。也就是说，$v_1,v_2$ 都属于线性映射

$$f_A:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \longmapsto A\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}$$

的核空间。

1. 证明向量 $\begin{pmatrix}0\\1\\3\\3\end{pmatrix}$ 属于 $\ker f_A$。

再给定

$$v_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\2\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}2\\0\\0\\3\end{pmatrix},\quad v_5=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\-3\end{pmatrix},\quad v_6=\begin{pmatrix}5\\2\\2\\7\end{pmatrix}.$$

2. 证明 $v_6$ 属于由 $v_3,v_4,v_5$ 张成的子空间。

3. 求由 $v_3,v_4,v_5,v_6$ 张成的子空间的维数。

4. 定义

   $$g:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \longmapsto xv_3+yv_4+zv_5+wv_6,$$

   以及复合映射

   $$h:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4,\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \longmapsto f_A\!\left(g\!\left(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}\right)\right).$$

   给出一个属于 $\ker h$ 的非零向量，并证明它确实在该核空间中。

Kai

(1) $f_A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}=0$ を示す。 $Av_1=0,\ Av_2=0$ であるから， $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ が $v_1,\ v_2$ の線形結合として表せればよい。 すなわち， $c_1 v_1 + c_2 v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ となる $c_1,c_2$ を求める。

$$c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}.$$

これより連立方程式

$$\begin{cases} c_1+c_2=0\\ c_1=1\\ 3c_1=3\\ 4c_1+c_2=3 \end{cases}$$

を得る。 $c_1=1$ より $c_2=-1$ となり，最後の式も満たされる。 したがって

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}=v_1-v_2$$

である。 よって

$$f_A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} =A(v_1-v_2)=Av_1-Av_2=0$$

となり， $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ は $\ker f_A$ に属する。

(2) $v_6$ が $\{v_3,v_4,v_5\}$ の張る部分空間に含まれることを示す。 すなわち

$$v_6=c_1v_3+c_2v_4+c_3v_5$$

となる $c_1,c_2,c_3$ を求める。

$$\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} =c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} +c_3\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}.$$

これより

$$\begin{cases} c_1+2c_2-c_3=5\\ c_1=2\\ 2c_3=2\\ 2c_1+3c_2-3c_3=7 \end{cases}$$

を得る。 $c_1=2,\ c_3=1$ より $c_2=2$ が従い，すべての式を満たす。 したがって

$$v_6=2v_3+2v_4+v_5$$

である。

(3) (2) より，

$$\mathrm{span}\{v_3,v_4,v_5,v_6\} =\mathrm{span}\{v_3,v_4,v_5\}$$

である。 次に $v_3,v_4,v_5$ の一次独立性を調べる。

$$c_1v_3+c_2v_4+c_3v_5=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

とすると

$$\begin{cases} c_1+2c_2-c_3=0\\ c_1=0\\ 2c_3=0\\ 2c_1+3c_2-3c_3=0 \end{cases}$$

となる。 これより $c_1=c_2=c_3=0$ が従う。 よって $v_3,v_4,v_5$ は一次独立であり， 次元は $3$ である。

(4) (2) で得た関係 $v_6=2v_3+2v_4+v_5$ を用いる。

$$u=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-1\\1\end{pmatrix}$$

とおくと $u\neq0$ であり，

$$g(u)=-2v_3-2v_4-v_5+v_6=0$$

となる。したがって

$$h(u)=f_A(g(u))=f_A(0)=0$$

である。よって $u$ は $\ker h$ に属する零でないベクトルである。