筑波大学 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群 物理学学位プログラム 2021年8月実施 専門科目I

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• 行列式
• 逆矩阵
• 梯度、散度与旋度
• 复对数与复幂
• 留数定理
• 傅里叶变换
• 恰当微分方程
• 高斯积分

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

以下の $10$ 問のうち $5$ 問を選択し、問題番号を明記の上、解答せよ。ただし、[A]、[B]、[C] の各問題群の中から最低 $1$ 問以上選択すること。答えは (1)～(6) から選べ。

[A]

問1 次の行列式の値として正しいものを選べ。

$$\begin{vmatrix}-1&1&1&1\\1&-1&1&1\\1&1&-1&1\\1&1&1&-1\end{vmatrix}$$

(1) $8$

(2) $12$

(3) $16$

(4) $-8$

(5) $-12$

(6) $-16$

問2 次の行列の逆行列を求め、そのすべての要素の和の値として正しいものを選べ。

$$\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&1\\0&2&3\end{pmatrix}$$

(1) $3/13$

(2) $5/13$

(3) $7/13$

(4) $9/13$

(5) $11/13$

(6) $1$

問3 点 $X(-2,0,z)$ が $3$ 点 $A(1,1,3)$、$B(0,-2,2)$、$C(3,-1,0)$ を通る平面上にある。この時、$z$ の値として正しいものを選べ。

(1) $1$

(2) $2$

(3) $3$

(4) $4$

(5) $5$

(6) $6$

問4 三次元空間における位置ベクトル $\vec r=(x,y,z)$ と定ベクトル $\vec a$ に対して、次式の値として正しいものを選べ。ただし $r=|\vec r|$ とする。

$$\vec\nabla\cdot\left[\vec a\times\vec\nabla\left(\frac1r\right)\right]$$

(1) $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^3$

(2) $-\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^3$

(3) $3\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^5$

(4) $-3\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^5$

(5) $\boldsymbol a\cdot(\boldsymbol r/r^3-3\boldsymbol r/r^5)$

(6) $0$

[B]

問5 $1^i$ の表式として正しいものを選べ。ただし、$k$ は任意の整数、$i$ は虚数単位とする。

(1) $-1$

(2) $\pi i/2$

(3) $e^{-2k\pi}$

(4) $e^{-k\pi/2}$

(5) $-1+\pi i$

(6) $2k\pi i$

問6 次の周回積分の値として正しいものを選べ。

$$\oint_C\frac{dz}{z^2+1}$$

ただし、$C$ は複素平面で原点を中心とする半径 $|z|=2$ の円を反時計回りに $1$ 周するものとする。

(1) $\pi-\pi i$

(2) $2\pi$

(3) $\pi$

(4) $0$

(5) $-\pi i$

(6) $-2\pi i$

問7 $f(x)$ のフーリエ変換 $F(k)$ の表式として正しいものを選べ。

$$f(x)=e^{-a|x|}$$

ただし、$a>0$、$\displaystyle F(k)\equiv\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx$ とする。

(1) $\dfrac1{\sqrt{2\pi}}\dfrac{ia}{a^2+k^2}$

(2) $\sqrt{\dfrac2\pi}\dfrac a{a^2+k^2}$

(3) $-\sqrt{\dfrac1\pi}\dfrac a{a^2+k^2}$

(4) $\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-ak^2}$

(5) $\sqrt{\dfrac2\pi}e^{-iak^2}$

(6) $-\sqrt{\dfrac1\pi}e^{-(a^2+k^2)}$

[C]

問8 次の完全微分型微分方程式の解の表式として正しいものを選べ。ただし $C$ は任意の定数とする。

$$(x+4y)\,dx+(4x+3y)\,dy=0$$

(1) $2x^2+5xy+3y^2=C$

(2) $x^2-7xy-2y^2=C$

(3) $2x^2-3xy-y^2=C$

(4) $3x^2+xy+5y^2=C$

(5) $x^2+8xy+3y^2=C$

(6) $3x^2-4xy-7y^2=C$

問9 $f(x)$ は次の関係式を満たすとする。

$$f(x)=1+\int_0^x(t-x)f(t)\,dt$$

$f(0),f'(0)$ を計算の上、$f(x)$ の満たす微分方程式が導出できる。これを解き $f(x)$ の表式として正しいものを選べ。

(1) $\cos x$

(2) $\sin x$

(3) $\cos x+\sin x$

(4) $\cos x-\sin x$

(5) $e^{ix}$

(6) $e^{-ix}$

問10 次の積分の値として正しいものを選べ。ただし、$a,b>0$ とする。

$$\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(ax^2+by^2)}\,dx\,dy$$

(1) $ab/\pi$

(2) $4\sqrt{ab}/\pi$

(3) $\pi/\sqrt{ab}$

(4) $\pi/(ab)$

(5) $\pi/(4\sqrt{ab})$

(6) $\pi/(4ab)$

题目描述

从以下十问中选择五问，注明题号后作答。[A]、[B]、[C] 三组中每组至少选一问。答案从 (1)～(6) 中选择。

[A]

问1 从选项中选出下列行列式的正确值。

$$\begin{vmatrix}-1&1&1&1\\1&-1&1&1\\1&1&-1&1\\1&1&1&-1\end{vmatrix}$$

(1) $8$

(2) $12$

(3) $16$

(4) $-8$

(5) $-12$

(6) $-16$

问2 求下列矩阵的逆矩阵，并选出其全部元素之和的正确值。

$$\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&1\\0&2&3\end{pmatrix}$$

(1) $3/13$

(2) $5/13$

(3) $7/13$

(4) $9/13$

(5) $11/13$

(6) $1$

问3 点 $X(-2,0,z)$ 位于经过 $A(1,1,3)$、$B(0,-2,2)$、$C(3,-1,0)$ 三点的平面上。选出 $z$ 的正确值。

(1) $1$

(2) $2$

(3) $3$

(4) $4$

(5) $5$

(6) $6$

问4 对于三维空间中的位置向量 $\vec r=(x,y,z)$ 和常向量 $\vec a$，选出下式的正确值。其中 $r=|\vec r|$。

$$\vec\nabla\cdot\left[\vec a\times\vec\nabla\left(\frac1r\right)\right]$$

(1) $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^3$

(2) $-\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^3$

(3) $3\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^5$

(4) $-3\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^5$

(5) $\boldsymbol a\cdot(\boldsymbol r/r^3-3\boldsymbol r/r^5)$

(6) $0$

[B]

问5 选出 $1^i$ 的正确表达式。其中 $k$ 为任意整数，$i$ 为虚数单位。

(1) $-1$

(2) $\pi i/2$

(3) $e^{-2k\pi}$

(4) $e^{-k\pi/2}$

(5) $-1+\pi i$

(6) $2k\pi i$

问6 选出下列闭路积分的正确值。

$$\oint_C\frac{dz}{z^2+1}$$

其中 $C$ 为复平面上以原点为中心、半径 $|z|=2$ 的圆，沿逆时针方向绕行一周。

(1) $\pi-\pi i$

(2) $2\pi$

(3) $\pi$

(4) $0$

(5) $-\pi i$

(6) $-2\pi i$

问7 选出 $f(x)$ 的傅里叶变换 $F(k)$ 的正确表达式。

$$f(x)=e^{-a|x|}$$

其中 $a>0$，变换定义为 $\displaystyle F(k)\equiv\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx$。

(1) $\dfrac1{\sqrt{2\pi}}\dfrac{ia}{a^2+k^2}$

(2) $\sqrt{\dfrac2\pi}\dfrac a{a^2+k^2}$

(3) $-\sqrt{\dfrac1\pi}\dfrac a{a^2+k^2}$

(4) $\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-ak^2}$

(5) $\sqrt{\dfrac2\pi}e^{-iak^2}$

(6) $-\sqrt{\dfrac1\pi}e^{-(a^2+k^2)}$

[C]

问8 选出下列恰当微分方程解的正确表达式，其中 $C$ 为任意常数。

$$(x+4y)\,dx+(4x+3y)\,dy=0$$

(1) $2x^2+5xy+3y^2=C$

(2) $x^2-7xy-2y^2=C$

(3) $2x^2-3xy-y^2=C$

(4) $3x^2+xy+5y^2=C$

(5) $x^2+8xy+3y^2=C$

(6) $3x^2-4xy-7y^2=C$

问9 设 $f(x)$ 满足下列关系式。

$$f(x)=1+\int_0^x(t-x)f(t)\,dt$$

计算 $f(0),f'(0)$ 后，可以导出 $f(x)$ 满足的微分方程。求解该方程，并选出 $f(x)$ 的正确表达式。

(1) $\cos x$

(2) $\sin x$

(3) $\cos x+\sin x$

(4) $\cos x-\sin x$

(5) $e^{ix}$

(6) $e^{-ix}$

问10 选出下列积分的正确值，其中 $a,b>0$。

$$\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(ax^2+by^2)}\,dx\,dy$$

(1) $ab/\pi$

(2) $4\sqrt{ab}/\pi$

(3) $\pi/\sqrt{ab}$

(4) $\pi/(ab)$

(5) $\pi/(4\sqrt{ab})$

(6) $\pi/(4ab)$

Kai

問1

全要素が1の行列を $J$ とすれば、対象の行列は $J-2I$ である。$J$ の固有値は $4,0,0,0$ なので

$$\det(J-2I)=2(-2)^3=\boxed{-16}\quad\text{（6）}.$$

問2

余因子または掃き出し法により

$$A^{-1}=\frac1{13}\begin{pmatrix}1&4&-2\\-9&3&5\\6&-2&1\end{pmatrix}.$$

全要素の和は $\boxed{7/13}$、したがって （3）。

問3

$\overrightarrow{AB}=(-1,-3,-1)$、$\overrightarrow{AC}=(2,-2,-3)$ より法線は

$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(7,-5,8).$$

平面は $7x-5y+8z=26$。$x=-2,y=0$ を代入して $\boxed{z=5}$、（5）。

問4

$r>0$ で $\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol a=0$ および $\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol\nabla(1/r)=0$ なので

$$\begin{aligned} &\boldsymbol\nabla\cdot\left[\boldsymbol a\times\boldsymbol\nabla(1/r)\right]\\ &\quad=\boldsymbol\nabla(1/r)\cdot(\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol a)\\ &\qquad-\boldsymbol a\cdot\left[\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol\nabla(1/r)\right]\\ &\quad=\boxed0\quad\text{（6）}. \end{aligned}$$

問5

複素対数の全ての値は $\log1=2\pi ki$（$k\in\mathbb Z$）である。したがって

$$\begin{gathered} \boxed{1^i=\exp(i\log1)=e^{-2\pi k}\quad(k\in\mathbb Z)}\\ \text{（3）}. \end{gathered}$$

主値のみを採れば $k=0$ から1となる。

問6

円の内部には単純極 $z=\pm i$ があり、その留数はそれぞれ $1/(2i)$、$-1/(2i)$ である。留数定理より

$$\begin{gathered} \oint_C\frac{dz}{z^2+1}=2\pi i\left(\frac1{2i}-\frac1{2i}\right) =\boxed0\\ \text{（4）}. \end{gathered}$$

問7

$x=0$ で分けて積分すると

$$\begin{gathered} F(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\left(\frac1{a-ik}+\frac1{a+ik}\right) =\boxed{\sqrt{\frac2\pi}\frac a{a^2+k^2}}\\ \text{（2）}. \end{gathered}$$

問8

$$d\left(\frac{x^2}{2}+4xy+\frac{3y^2}{2}\right) =(x+4y)\,dx+(4x+3y)\,dy.$$

よって $\boxed{x^2+8xy+3y^2=C}$、（5）。

問9

積分方程式より $f(0)=1$。微分すると

$$\begin{gathered} f'(x)=-\int_0^x f(t)\,dt,\\ f'(0)=0,\\ f''(x)=-f(x). \end{gathered}$$

初期条件を満たす解は $\boxed{f(x)=\cos x}$、（1）。

問10

被積分関数は変数分離でき、1次元のガウス積分を用いて

$$\begin{gathered} \int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(ax^2+by^2)}\,dx\,dy =\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt a}\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt b} =\boxed{\frac\pi{4\sqrt{ab}}}\\ \text{（5）}. \end{gathered}$$

Reference

• 大学公式問題（PDF 2–4ページ）
• miyake：対応する解答