筑波大学 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群 物理学学位プログラム 2021年8月実施 専門科目I

标签：

• 筑波大学
• 行列式
• 逆矩阵
• 梯度、散度与旋度
• 复对数与复幂
• 留数定理
• 傅里叶变换
• 恰当微分方程
• 高斯积分

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

以下の10問から5問を選び、問題番号を明記して解答せよ。ただし [A]、[B]、[C] の各群から最低1問を選ぶこと。各問の答えは選択肢(1)〜(6)から選べ。

[A]

問1　次の行列式の値を選べ。

$$\begin{vmatrix}-1&1&1&1\\1&-1&1&1\\1&1&-1&1\\1&1&1&-1\end{vmatrix}.$$

(1) $8$、(2) $12$、(3) $16$、(4) $-8$、(5) $-12$、(6) $-16$。

問2　次の行列の逆行列を求め、その全要素の和を選べ。

$$A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&1\\0&2&3\end{pmatrix}.$$

(1) $3/13$、(2) $5/13$、(3) $7/13$、(4) $9/13$、(5) $11/13$、(6) $1$。

問3　点 $X(-2,0,z)$ が3点 $A(1,1,3)$、$B(0,-2,2)$、$C(3,-1,0)$ を通る平面上にあるときの $z$ を選べ。

(1) $1$、(2) $2$、(3) $3$、(4) $4$、(5) $5$、(6) $6$。

問4　位置ベクトル $\boldsymbol r=(x,y,z)$、定ベクトル $\boldsymbol a$ に対し、$r=|\boldsymbol r|$ として次式の値を選べ。

$$\boldsymbol\nabla\cdot\left[\boldsymbol a\times\boldsymbol\nabla\left(\frac1r\right)\right].$$

(1) $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^3$、(2) $-\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^3$、(3) $3\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^5$、(4) $-3\boldsymbol a\cdot\boldsymbol r/r^5$、(5) $\boldsymbol a\cdot(\boldsymbol r/r^3-3\boldsymbol r/r^5)$、(6) $0$。

[B]

問5　$1^i$ の表式を選べ。ただし $k$ は任意の整数、$i$ は虚数単位とする。

(1) $-1$、(2) $\pi i/2$、(3) $e^{-2k\pi}$、(4) $e^{-k\pi/2}$、(5) $-1+\pi i$、(6) $2k\pi i$。

問6　$C$ は原点中心、半径2の円を反時計回りに1周する経路とする。次の周回積分を求めよ。

$$\oint_C\frac{dz}{z^2+1}.$$

(1) $\pi-\pi i$、(2) $2\pi$、(3) $\pi$、(4) $0$、(5) $-\pi i$、(6) $-2\pi i$。

問7　$a>0$ として、$f(x)=e^{-a|x|}$ のフーリエ変換

$$F(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx$$

を選べ。

(1) $\dfrac1{\sqrt{2\pi}}\dfrac{ia}{a^2+k^2}$、(2) $\sqrt{\dfrac2\pi}\dfrac a{a^2+k^2}$、(3) $-\sqrt{\dfrac1\pi}\dfrac a{a^2+k^2}$、(4) $\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-ak^2}$、(5) $\sqrt{\dfrac2\pi}e^{-iak^2}$、(6) $-\sqrt{\dfrac1\pi}e^{-(a^2+k^2)}$。

[C]

問8　完全微分方程式 $(x+4y)\,dx+(4x+3y)\,dy=0$ の解を選べ。$C$ は任意定数とする。

(1) $2x^2+5xy+3y^2=C$、(2) $x^2-7xy-2y^2=C$、(3) $2x^2-3xy-y^2=C$、(4) $3x^2+xy+5y^2=C$、(5) $x^2+8xy+3y^2=C$、(6) $3x^2-4xy-7y^2=C$。

問9　$f(x)=1+\int_0^x(t-x)f(t)\,dt$ を満たす関数について、$f(0),f'(0)$ を計算し、微分方程式を導いて解くことにより $f(x)$ を選べ。

(1) $\cos x$、(2) $\sin x$、(3) $\cos x+\sin x$、(4) $\cos x-\sin x$、(5) $e^{ix}$、(6) $e^{-ix}$。

問10　$a,b>0$ として次の積分を求めよ。

$$\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(ax^2+by^2)}\,dx\,dy.$$

(1) $ab/\pi$、(2) $4\sqrt{ab}/\pi$、(3) $\pi/\sqrt{ab}$、(4) $\pi/(ab)$、(5) $\pi/(4\sqrt{ab})$、(6) $\pi/(4ab)$。

题目描述

原卷要求从10问中选5问，且 [A]、[B]、[C] 各至少选1问，并在各自六个选项中选择答案。

[A] 求给定4阶行列式；求给定3阶矩阵的逆矩阵及全部元素之和；求经过给定三点的平面上 $X(-2,0,z)$ 的 $z$；计算常向量与 $1/r$ 的梯度的叉积之散度。

[B] 求复数幂 $1^i$ 的多值表达式；沿原点中心半径2的逆时针圆周积分 $1/(z^2+1)$；按给定归一化约定计算 $e^{-a|x|}$（$a>0$）的傅里叶变换。

[C] 求 $(x+4y)dx+(4x+3y)dy=0$ 的解；从给定积分方程求初值、导出微分方程并求解；计算 $a,b>0$ 时的第一象限二维高斯积分。各式及选项如上。

Kai

問1

全要素が1の行列を $J$ とすれば、対象の行列は $J-2I$ である。$J$ の固有値は $4,0,0,0$ なので

$$\det(J-2I)=2(-2)^3=\boxed{-16}\quad\text{（6）}.$$

問2

余因子または掃き出し法により

$$A^{-1}=\frac1{13}\begin{pmatrix}1&4&-2\\-9&3&5\\6&-2&1\end{pmatrix}.$$

全要素の和は $\boxed{7/13}$、したがって （3）。

問3

$\overrightarrow{AB}=(-1,-3,-1)$、$\overrightarrow{AC}=(2,-2,-3)$ より法線は

$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(7,-5,8).$$

平面は $7x-5y+8z=26$。$x=-2,y=0$ を代入して $\boxed{z=5}$、（5）。

問4

$r>0$ で $\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol a=0$ および $\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol\nabla(1/r)=0$ なので

$$\boldsymbol\nabla\cdot\left[\boldsymbol a\times\boldsymbol\nabla(1/r)\right] =\boldsymbol\nabla(1/r)\cdot(\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol a) -\boldsymbol a\cdot\left[\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol\nabla(1/r)\right] =\boxed0\quad\text{（6）}.$$

問5

複素対数の全ての値は $\log1=2\pi ki$（$k\in\mathbb Z$）である。したがって

$$\boxed{1^i=\exp(i\log1)=e^{-2\pi k}\quad(k\in\mathbb Z)}\quad\text{（3）}.$$

主値のみを採れば $k=0$ から1となる。

問6

円の内部には単純極 $z=\pm i$ があり、その留数はそれぞれ $1/(2i)$、$-1/(2i)$ である。留数定理より

$$\oint_C\frac{dz}{z^2+1}=2\pi i\left(\frac1{2i}-\frac1{2i}\right) =\boxed0\quad\text{（4）}.$$

問7

$x=0$ で分けて積分すると

$$F(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\left(\frac1{a-ik}+\frac1{a+ik}\right) =\boxed{\sqrt{\frac2\pi}\frac a{a^2+k^2}}\quad\text{（2）}.$$

問8

$$d\left(\frac{x^2}{2}+4xy+\frac{3y^2}{2}\right) =(x+4y)\,dx+(4x+3y)\,dy.$$

よって $\boxed{x^2+8xy+3y^2=C}$、（5）。

問9

積分方程式より $f(0)=1$。微分すると

$$f'(x)=-\int_0^x f(t)\,dt,\qquad f'(0)=0,\qquad f''(x)=-f(x).$$

初期条件を満たす解は $\boxed{f(x)=\cos x}$、（1）。

問10

被積分関数は変数分離でき、1次元のガウス積分を用いて

$$\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(ax^2+by^2)}\,dx\,dy =\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt a}\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt b} =\boxed{\frac\pi{4\sqrt{ab}}}\quad\text{（5）}.$$

Reference

• 大学公式問題（PDF 2–4ページ）
• miyake：対応する解答