筑波大学 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群 数学学位プログラム 2021年8月実施 [2]

标签：

• 筑波大学
• 核与像
• 基与维数
• 不变子空间与限制算子
• 矩阵对角化

Author

Miyake

Description

実行列

$$D=\begin{pmatrix}-2&1&1&1\\1&0&0&-1\end{pmatrix}$$

に対し，$V$ を

$$V=\{\boldsymbol x\in\mathbb R^4\mid D\boldsymbol x=\boldsymbol0\}$$

で与えられる $\mathbb R$ 上のベクトル空間 $\mathbb R^4$ の部分ベクトル空間とする．実行列

$$A=\begin{pmatrix}0&1&1&-2\\1&1&-1&0\\0&1&3&-4\\1&-1&-1&-1\end{pmatrix}$$

と，$\mathbb R^4$ の元

$$\boldsymbol u_1=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\-1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol u_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}$$

を考える．次の問いに答えよ．

(1) $\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2$ は $V$ の元であることを示せ．

(2) $\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2$ は $V$ の基底であることを示せ．

(3) $\mathbb R^4$ の線形変換 $L_A:\mathbb R^4\to\mathbb R^4$ を，$\boldsymbol x\in\mathbb R^4$ に対し $L_A(\boldsymbol x)=A\boldsymbol x$ で定める．$L_A(\boldsymbol u_1),L_A(\boldsymbol u_2)$ を求めよ．また，$L_A(V)\subset V$ が成立することを示せ．

(4) $V$ の線形変換 $\varphi:V\to V$ を，$\boldsymbol v\in V$ に対し $\varphi(\boldsymbol v)=L_A(\boldsymbol v)$ で定める．基底 $\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2$ に関する $\varphi$ の表現行列 $B$ を求めよ．

(5) 次の条件を満たす $V$ の基底 $\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2$ は存在するか？理由をつけて答えよ．

（条件）基底 $\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2$ に関する $\varphi$ の表現行列は，対角行列である．

题目描述

对于实矩阵

$$D=\begin{pmatrix}-2&1&1&1\\1&0&0&-1\end{pmatrix},$$

将 $\mathbb R$ 上向量空间 $\mathbb R^4$ 的子空间定义为

$$V=\{\boldsymbol x\in\mathbb R^4\mid D\boldsymbol x=\boldsymbol0\}.$$

考虑实矩阵及 $\mathbb R^4$ 中的向量

$$A=\begin{pmatrix}0&1&1&-2\\1&1&-1&0\\0&1&3&-4\\1&-1&-1&-1\end{pmatrix},$$

$$\boldsymbol u_1=\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\-1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol u_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}.$$

回答下列问题。

(1) 证明 $\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2$ 是 $V$ 中的元素。

(2) 证明 $\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2$ 是 $V$ 的一组基。

(3) 定义 $\mathbb R^4$ 上的线性变换 $L_A:\mathbb R^4\to\mathbb R^4$，对 $\boldsymbol x\in\mathbb R^4$ 有 $L_A(\boldsymbol x)=A\boldsymbol x$。求 $L_A(\boldsymbol u_1),L_A(\boldsymbol u_2)$，并证明 $L_A(V)\subset V$。

(4) 定义 $V$ 上的线性变换 $\varphi:V\to V$，对 $\boldsymbol v\in V$ 有 $\varphi(\boldsymbol v)=L_A(\boldsymbol v)$。求 $\varphi$ 关于基 $\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2$ 的表示矩阵 $B$。

(5) 是否存在 $V$ 的基 $\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2$，使 $\varphi$ 关于这组基的表示矩阵为对角矩阵？说明理由。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} D \boldsymbol{u}_1 = \boldsymbol{0} , \ \ D \boldsymbol{u}_2 = \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

より、 $\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2 \in V$ がわかる。

(2)

$$\begin{aligned} D \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a+b+c+d \\ a-d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $d=a, c=a-b$ が得られるので、 $V$ は2次元であることがわかる。

$\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2$ は、互いに実数倍ではないので、 1次独立であり、 (1) を考慮して、 $V$ の基底であることがわかる。

(3)

まず、

$$\begin{aligned} L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \ \ L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right) = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、 $DL_A(\boldsymbol{u}_1) = \boldsymbol{0}, DL_A(\boldsymbol{u}_2) = \boldsymbol{0}$ すなわち $L_A(\boldsymbol{u}_1), L_A(\boldsymbol{u}_2) \in V$ がわかる。

次に、任意の $\boldsymbol{v} \in V$ は、適当な実数 $s,t$ によって $\boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2$ と表されるので、この $\boldsymbol{v}$ について、 $L_A$ の線形性より、

$$\begin{aligned} L_A \left( \boldsymbol{v} \right) &= s L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right) + t L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \\ &\in V \end{aligned}$$

がわかり、これは $L_A(V) \subset V$ を意味する。

(4)

(3) の計算より、

$$\begin{aligned} \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) &= 5 \boldsymbol{u}_1 + 6 \boldsymbol{u}_2 \\ \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) &= -3 \boldsymbol{u}_1 - 4 \boldsymbol{u}_2 \end{aligned}$$

がわかるので、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) & \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_1 & \boldsymbol{u}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

すなわち、

$$\begin{aligned} B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(5)

任意の $\boldsymbol{v} \in V$ は、適当な実数 $s,t$ によって $\boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2$ と表され、この $\boldsymbol{v}$ について、

$$\begin{aligned} \varphi \left( \boldsymbol{v} \right) &= s \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) + t \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \\ &= (5s-3t) \boldsymbol{u}_1 + (6s-4t) \boldsymbol{u}_2 \end{aligned}$$

となるので、 $\boldsymbol{v}\ne\boldsymbol0$ が $\varphi$ の固有ベクトルになるのは、

$$\begin{aligned} 5s-3t = \lambda s , \ \ 6s-4t = \lambda t \end{aligned}$$

をみたす実数 $\lambda$ が存在するときである。 この条件は、

$$\begin{aligned} (5s-3t)t &= (6s-4t)s \\ \therefore \ \ (2s-t)(s-t) &= 0 \end{aligned}$$

と表されるので、 $2s=t$ または $s=t$ のとき、 $\boldsymbol{v}$ は $\varphi$ の固有ベクトルとなる。 したがって、例えば、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{u}_1 + \boldsymbol{u}_2 \\ \boldsymbol{v}_2 &= \boldsymbol{u}_1 + 2 \boldsymbol{u}_2 \end{aligned}$$

は $V$ の基底であり、 この基底に関して $\varphi$ の表現行列は対角行列となる。 すなわち、題意の条件を満たす基底は存在する。

この基底での表現行列は $\operatorname{diag}(2,-1)$ である。

Reference

• 公式問題（PDF）