筑波大学 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群 数学学位プログラム 2021年8月実施 [2]

Author

Miyake

Description

Kai

(1)

より、 がわかる。

(2)

とおくと が得られるので、 は2次元であることがわかる。

は、互いに実数倍ではないので、 1次独立であり、 (1) を考慮して、 の基底であることがわかる。

(3)

まず、

であり、 すなわち がわかる。

次に、任意の は、適当な実数 によって と表されるので、この について、 の線形性より、

がわかり、これは を意味する。

(4)

(3) の計算より、

がわかるので、

すなわち、

である。

(5)

任意の は、適当な実数 によって と表され、この について、

となるので、 が の固有ベクトルになるのは、

をみたす実数 が存在するときである。 この条件は、

と表されるので、 または のとき、 は の固有ベクトルとなる。 したがって、例えば、

は の基底であり、 この基底に関して の表現行列は対角行列となる。 すなわち、題意の条件を満たす基底は存在する。