筑波大学 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群 数学学位プログラム 2021年8月実施 [2]

标签：

• Tsukuba-University
• Kernel-and-Image
• Basis-and-Dimension
• Invariant-Subspace-and-Restricted-Operator
• Matrix-Diagonalization

Author

Miyake

Description

题目描述

当前文件的原始题目描述为空，无法从现有内容中完整复原各小问的具体条件与要求。根据文件标签及下方解答中可以确认的信息，本题是一道线性代数综合题：涉及线性映射（或线性算子）的核与像、子空间的基与维数、不变子空间及限制算子，以及相应矩阵的对角化。作答时应以原试卷中给出的向量、空间、线性算子和矩阵为准，依次证明所要求的包含或不变性关系，确定有关空间的基与维数，并讨论限制算子或矩阵能否对角化。

考点

• 核与像：利用线性映射的定义判断向量属于核或像，并分析相应子空间。
• 基与维数：验证线性无关性与生成性，求出子空间的基和维数。
• 不变子空间与限制算子：判断子空间在线性算子作用下是否保持不变，并研究算子在该子空间上的限制。
• 矩阵对角化：通过特征值、特征向量及特征空间维数判断矩阵或线性算子的可对角化性。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} D \boldsymbol{u}_1 = \boldsymbol{0} , \ \ D \boldsymbol{u}_2 = \boldsymbol{0} \end{aligned}$$

より、 $\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2 \in V$ がわかる。

(2)

$$\begin{aligned} D \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a+b+c+d \\ a-d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと $d=a, c=a-b$ が得られるので、 $V$ は2次元であることがわかる。

$\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2$ は、互いに実数倍ではないので、 1次独立であり、 (1) を考慮して、 $V$ の基底であることがわかる。

(3)

まず、

$$\begin{aligned} L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \ \ L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right) = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、 $DL_A(\boldsymbol{u}_1) = \boldsymbol{0}, DL_A(\boldsymbol{u}_2) = \boldsymbol{0}$ すなわち $L_A(\boldsymbol{u}_1), L_A(\boldsymbol{u}_2) \in V$ がわかる。

次に、任意の $\boldsymbol{v} \in V$ は、適当な実数 $s,t$ によって $\boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2$ と表されるので、この $\boldsymbol{v}$ について、 $L_A$ の線形性より、

$$\begin{aligned} L_A \left( \boldsymbol{v} \right) &= s L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right) + t L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \\ &\in V \end{aligned}$$

がわかり、これは $L_A(V) \subset V$ を意味する。

(4)

(3) の計算より、

$$\begin{aligned} \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) &= 5 \boldsymbol{u}_1 + 6 \boldsymbol{u}_2 \\ \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) &= -3 \boldsymbol{u}_1 - 4 \boldsymbol{u}_2 \end{aligned}$$

がわかるので、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) & \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_1 & \boldsymbol{u}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

すなわち、

$$\begin{aligned} B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(5)

任意の $\boldsymbol{v} \in V$ は、適当な実数 $s,t$ によって $\boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2$ と表され、この $\boldsymbol{v}$ について、

$$\begin{aligned} \varphi \left( \boldsymbol{v} \right) &= s \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) + t \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \\ &= (5s-3t) \boldsymbol{u}_1 + (6s-4t) \boldsymbol{u}_2 \end{aligned}$$

となるので、 $\boldsymbol{v}$ が $\varphi$ の固有ベクトルになるのは、

$$\begin{aligned} 5s-3t = \lambda s , \ \ 6s-4t = \lambda t \end{aligned}$$

をみたす実数 $\lambda \ (\ne 0)$ が存在するときである。 この条件は、

$$\begin{aligned} (5s-3t)t &= (6s-4t)s \\ \therefore \ \ (2s-t)(s-t) &= 0 \end{aligned}$$

と表されるので、 $2s=t$ または $s=t$ のとき、 $\boldsymbol{v}$ は $\varphi$ の固有ベクトルとなる。 したがって、例えば、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{u}_1 + \boldsymbol{u}_2 \\ \boldsymbol{v}_2 &= \boldsymbol{u}_1 + 2 \boldsymbol{u}_2 \end{aligned}$$

は $V$ の基底であり、 この基底に関して $\varphi$ の表現行列は対角行列となる。 すなわち、題意の条件を満たす基底は存在する。