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東京大学 理学系研究科 物理学専攻 2022年度 専門科目 第2問

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

体積 V=L3V=L^3 の相互作用が無視できる理想ボース気体を考える。粒子の質量は mm、粒子数は NN、プランク定数を 2π2\pi で割った量は ℏ\hbar とする。まずスピン0の場合について答えよ。

  1. 全ての一粒子固有エネルギーと対応する固有波動関数 Ψ(x,y,z)\Psi(x,y,z) を求めよ。周期境界条件
Ψ(x+L,y,z)=Ψ(x,y,z),Ψ(x,y+L,z)=Ψ(x,y,z),Ψ(x,y,z+L)=Ψ(x,y,z)\Psi(x+L,y,z)=\Psi(x,y,z),\quad \Psi(x,y+L,z)=\Psi(x,y,z),\quad \Psi(x,y,z+L)=\Psi(x,y,z)

を課し、基底状態のエネルギーを0とする。

  1. エネルギー EiE_i の一粒子状態の大分配関数は、温度 TT、化学ポテンシャル μ≤0\mu\leq0、ボルツマン定数 kBk_B を用いて
Ξi=∑ni=0∞exp⁡[−(Ei−μ)nikBT]\Xi_i=\sum_{n_i=0}^\infty\exp\left[-\frac{(E_i-\mu)n_i}{k_BT}\right]

と与えられる。この状態の平均粒子数 f(Ei,μ)f(E_i,\mu)（ボース分布関数）を導け。

以下では LL が十分大きく、エネルギー準位が連続とみなせるとする。

  1. エネルギーが0から EE までの一粒子状態数を Ω(E)\Omega(E) とする。状態密度 D(E)=dΩ(E)/dED(E)=d\Omega(E)/dE を求めよ。
  2. T>TcT>T_c では N=∫0∞f(E,μ)D(E) dEN=\int_0^\infty f(E,\mu)D(E)\,dE と書ける。この右辺は一定温度で μ≤0\mu\leq0 の単調増加関数である。μ=0\mu=0 のときの積分を評価せよ。必要なら次式を用いよ。
2π∫0∞xex−1 dx=∑n=1∞1n3/2=ζ(3/2).\frac2{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\sqrt x}{e^x-1}\,dx =\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{3/2}}=\zeta(3/2).
  1. T<TcT<T_c では基底状態を占める粒子数 N0N_0 が巨視的になり、
N=N0+∫0∞f(E,0)D(E) dEN=N_0+\int_0^\infty f(E,0)D(E)\,dE

となる。このボース・アインシュタイン凝縮の転移温度 TcT_c を求めよ。 6. T<TcT<T_c で N0N_0 を N,T,TcN,T,T_c によって表せ。 7. T<TcT<T_c の定積熱容量は CV=(∂E/∂T)N,V=aTγC_V=(\partial E/\partial T)_{N,V}=aT^\gamma と書ける。指数 γ\gamma を求めよ。

次に、スピン SS をもつボース粒子を考える。

  1. 外部磁場がない場合の状態密度 D(E)D(E) と転移温度 Tc′T'_c を求めよ。
  2. zz 方向に磁束密度 BB の外部磁場を加えると、ゼーマンエネルギー −cmzB-cm_zB によりスピン縮退が解ける。c>0c>0 は定数、mz=−S,−S+1,…,Sm_z=-S,-S+1,\ldots,S である。転移温度 Tc′T'_c を決める方程式を書け。
  3. Tc′T'_c の BB 依存性の概略を図示し、cB≫kBTc′cB\gg k_BT'_c での振る舞いを述べよ。必要なら (2/π)∫0∞xe−xdx=1(2/\sqrt\pi)\int_0^\infty\sqrt x e^{-x}dx=1 を用いよ。

题目描述​

考虑体积 L3L^3、粒子质量 mm、粒子数 NN 的无相互作用理想玻色气体。

对自旋0粒子：①在三方向周期边界下求单粒子能谱和归一化波函数；②由给定的大配分函数推导玻色分布；③在连续能谱近似下求态密度；④计算化学势为0时激发态能容纳的粒子数；⑤求凝聚临界温度；⑥求临界温度以下的基态粒子数；⑦求定容热容量的温度幂指数。

再考虑自旋 SS：⑧求无磁场下的态密度和临界温度；⑨外加沿 zz 方向的磁场后，塞曼能为 −cmzB-cm_zB，写出临界温度方程；⑩画出临界温度随磁场大小变化的概略图，并讨论强磁场极限。可使用题中给出的两个积分公式。

Kai​

(1)​

自由粒子の平面波に周期境界条件を課すと、各波数は 2π/L2\pi/L の整数倍になる。したがって、nx,ny,nz∈Zn_x,n_y,n_z\in\mathbb Z に対して

Ψn(r)=L−3/2exp⁡[2πiL(nxx+nyy+nzz)],\boxed{\Psi_{\boldsymbol n}(\boldsymbol r)=L^{-3/2}\exp\left[\frac{2\pi i}{L}(n_xx+n_yy+n_zz)\right]},
En=2π2ℏ2mL2(nx2+ny2+nz2).\boxed{E_{\boldsymbol n}=\frac{2\pi^2\hbar^2}{mL^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)}.

基底状態は n=0\boldsymbol n=0、エネルギー0である。

(2)​

Ei−μ>0E_i-\mu>0 に対して等比級数を足すと

Ξi=11−e−β(Ei−μ),β=1kBT.\Xi_i=\frac1{1-e^{-\beta(E_i-\mu)}},\qquad\beta=\frac1{k_BT}.

よって

f(Ei,μ)=1β∂ln⁡Ξi∂μ=1eβ(Ei−μ)−1.\boxed{f(E_i,\mu)=\frac1\beta\frac{\partial\ln\Xi_i}{\partial\mu} =\frac1{e^{\beta(E_i-\mu)}-1}}.

Ei=0,μ=0E_i=0,\mu=0 の基底状態はこの式の発散する極限であり、凝縮相では N0N_0 として別に扱う。

(3)​

波数空間で一状態が占める体積は (2π/L)3(2\pi/L)^3。半径 k=2mE/ℏk=\sqrt{2mE}/\hbar の球内の状態を数えると

Ω(E)=V(2π)34π3(2mEℏ2)3/2.\Omega(E)=\frac{V}{(2\pi)^3}\frac{4\pi}{3}\left(\frac{2mE}{\hbar^2}\right)^{3/2}.

したがって

D0(E)=V4π2(2mℏ2)3/2E.\boxed{D_0(E)=\frac{V}{4\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt E}.

以下ではスピン0の状態密度を D0D_0 と書く。

(4)​

熱的波長を λT=2πℏ2/(mkBT)\lambda_T=\sqrt{2\pi\hbar^2/(mk_BT)} とする。x=E/(kBT)x=E/(k_BT) と置き、与えられた積分を用いると

∫0∞D0(E)eE/(kBT)−1 dE=VλT3ζ(3/2).\boxed{\int_0^\infty\frac{D_0(E)}{e^{E/(k_BT)}-1}\,dE =\frac{V}{\lambda_T^3}\zeta(3/2)}.

(5)​

転移点では N0=0N_0=0 となり、励起状態が粒子を収容できる上限が NN に等しい。よって

N=V(mkBTc2πℏ2)3/2ζ(3/2),N=V\left(\frac{mk_BT_c}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}\zeta(3/2),
Tc=2πℏ2mkB[NVζ(3/2)]2/3.\boxed{T_c=\frac{2\pi\hbar^2}{mk_B}\left[\frac{N}{V\zeta(3/2)}\right]^{2/3}}.

(6)​

励起粒子数が T3/2T^{3/2} に比例するため

N0=N[1−(TTc)3/2](T<Tc).\boxed{N_0=N\left[1-\left(\frac T{T_c}\right)^{3/2}\right]}\qquad(T<T_c).

(7)​

基底状態のエネルギーは0なので、全内部エネルギーは

E=∫0∞εD0(ε)eε/(kBT)−1 dε∝T5/2.E=\int_0^\infty\frac{\varepsilon D_0(\varepsilon)}{e^{\varepsilon/(k_BT)}-1}\,d\varepsilon \propto T^{5/2}.

よって CV∝T3/2C_V\propto T^{3/2}、すなわち

γ=32.\boxed{\gamma=\frac32}.

具体的には CV=(15/4)NkB{ζ(5/2)/ζ(3/2)}(T/Tc)3/2C_V=(15/4)Nk_B\{\zeta(5/2)/\zeta(3/2)\}(T/T_c)^{3/2} である。

(8)​

各運動量状態のスピン縮退度は g=2S+1g=2S+1 なので

D(E)=gD0(E),Tc′(0)=Tcg2/3.\boxed{D(E)=gD_0(E),\qquad T'_c(0)=\frac{T_c}{g^{2/3}}}.

(9)​

B≥0B\geq0 とする。最低エネルギーは −cSB-cSB であり、転移点の化学ポテンシャルはこの値に等しい。運動エネルギーを ε≥0\varepsilon\geq0、r=S−mz=0,1,…,2Sr=S-m_z=0,1,\ldots,2S とおくと、最低準位からの励起エネルギーは ε+rcB\varepsilon+rcB。したがって

N=∑r=02S∫0∞D0(ε)exp⁡[(ε+rcB)/(kBTc′)]−1 dε.\boxed{N=\sum_{r=0}^{2S}\int_0^\infty \frac{D_0(\varepsilon)}{\exp[(\varepsilon+rcB)/(k_BT'_c)]-1}\,d\varepsilon}.

g3/2(z)=∑ℓ=1∞zℓ/ℓ3/2g_{3/2}(z)=\sum_{\ell=1}^\infty z^\ell/\ell^{3/2} を用いれば

N=V(mkBTc′2πℏ2)3/2∑r=02Sg3/2(e−rcB/(kBTc′)).\boxed{N=V\left(\frac{mk_BT'_c}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2} \sum_{r=0}^{2S}g_{3/2}\left(e^{-rcB/(k_BT'_c)}\right)}.

(10)​

一定温度では r≥1r\geq1 の各項が BB とともに減少するため、粒子数を一定に保つ転移温度は単調増加する。S>0S>0 では Tc/(2S+1)2/3T_c/(2S+1)^{2/3} から出発し、B→∞B\to\infty で TcT_c に下から近づく。S=0S=0 なら磁場に依存せず Tc′=TcT'_c=T_c である。

転移温度の磁場依存性（S=1の例）

図は S=1S=1 の例を示す。一般の S>0S>0 でも増加して飽和する形は同じである。強磁場では r≥1r\geq1 の状態が熱的に凍結し、最低ゼーマン枝だけが残る。g3/2(e−b)=e−b+O(e−2b)g_{3/2}(e^{-b})=e^{-b}+O(e^{-2b}) より、S>0S>0 の場合

N=VλTc′3[ζ(3/2)+e−cB/(kBTc′)+O(e−2cB/(kBTc′))].N=\frac{V}{\lambda_{T'_c}^3}\left[\zeta(3/2)+e^{-cB/(k_BT'_c)}+O\left(e^{-2cB/(k_BT'_c)}\right)\right].

したがって主要な補正は

Tc′Tc=1−23ζ(3/2)e−cB/(kBTc)+o(e−cB/(kBTc)).\boxed{\frac{T'_c}{T_c}=1-\frac{2}{3\zeta(3/2)}e^{-cB/(k_BT_c)} +o\left(e^{-cB/(k_BT_c)}\right)}.

Reference​

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