東京大学 理学系研究科 物理学専攻 2021年8月実施 専門科目 第1問

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Miyake

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【問 1】

量子力学において不確定性関係式は重要な役割を果たす。与えられた量子状態に対する、位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ の標準偏差を

$$\begin{aligned} \Delta x \equiv \sqrt{\langle (\Delta \hat{x})^2 \rangle}, \quad \Delta \hat{x} \equiv \hat{x} - \langle \hat{x} \rangle \\ \Delta p \equiv \sqrt{\langle (\Delta \hat{p})^2 \rangle}, \quad \Delta \hat{p} \equiv \hat{p} - \langle \hat{p} \rangle \\ \end{aligned}$$

と定義しよう。ここで、$\langle \hat{O} \rangle$ は演算子 $\hat{O}$ の量子力学的期待値である。以下の設問に答えよ。なお、必要があれば次の積分公式を使ってもよい。

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} \quad (a > 0) \end{aligned}$$

また、$\hbar$ はプランク定数を $2\pi$ で割った量とする。

1. 波動関数

$$\begin{aligned} \psi(x) = \left( \frac{1}{\pi a^2} \right)^{\frac{1}{4}} \exp \left( -\frac{x^2}{2a^2} \right) \quad (a > 0) \end{aligned}$$

に対して $\Delta x$、$\Delta p$ を計算し、その結果を物理的に解釈せよ。

2. 一般に、$\Delta x$ と $\Delta p$ の間には不等式

$$\begin{align} \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \tag{1} \end{align}$$

が成立する。これを示すために、まず、任意の演算子 $\hat{O}$ とそのエルミート共役演算子 $\hat{O}^\dagger$ に対して

$$\begin{aligned} \langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle \geq 0 \end{aligned}$$

が成立することを示せ。

3. 次に、$\hat{O} = t\Delta \hat{x} - i \Delta \hat{p}$ ($t$ は任意の実数) とおくことで不等式 (1) を示せ。

4. 設問 3 の $\hat{O}$ の固有値が 0 を含むための $t$ に関する条件を述べ、固有値 0 に対応する固有状態が不等式 (1) の等号を満足することを示せ。

5. 不等式 (1) の等号が成立する状態を最小不確定状態という。設問 4 の結果を用いて、最小不確定状態を記述するように規格化された波動関数を求めよ。

Kai

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東大理学系研究科 物理学専攻 令和4年度 専門科目 第1問

1.

$$\begin{aligned} \langle \hat{x} \rangle &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) x \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi} a} \int_{-\infty}^\infty dx \ x \exp \left( - \frac{x^2}{a^2}\right) = 0 \\ \langle \hat{x}^2 \rangle &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) x^2 \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi} a} \int_{-\infty}^\infty dx \ x^2 \exp \left( - \frac{x^2}{a^2}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\pi} a} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi a^6} = \frac{a^2}{2} \\ \langle \hat{p} \rangle &= \frac{\hbar}{i} \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) \frac{d}{dx} \psi(x) = 0 \\ \langle \hat{p}^2 \rangle &= - \hbar^2 \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = - \frac{\hbar^2}{\sqrt{\pi} a^3} \int_{- \infty}^\infty dx \ \left( \frac{x^2}{a^2} - 1 \right) \exp \left( - \frac{x^2}{a^2} \right) \\ &= - \frac{\hbar^2}{\sqrt{\pi} a^3} \left( \frac{\sqrt{\pi a^6}}{2a^2} - \sqrt{\pi a^2} \right) = \frac{\hbar^2}{2a^2} \\ \Delta x &= \sqrt{\langle \hat{x}^2 \rangle - \langle \hat{x} \rangle^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \\ \Delta p &= \sqrt{\langle \hat{p}^2 \rangle - \langle \hat{p} \rangle^2} = \frac{\hbar}{\sqrt{2} a} \end{aligned}$$

$\Delta x$ は $a$ に比例し、 $\Delta p$ は $a$ に反比例するので、 $\Delta x$ と $\Delta p$ は互いに反比例し、 $\Delta x \Delta p = \hbar / 2$ である。 これは与えられた (1) の等号が成り立つ場合であり、最小不確定状態である。

2.

波動関数 $\varphi(x)$ で表される状態について、

$$\begin{aligned} \langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \varphi^*(x) \hat{O}^\dagger \hat{O} \varphi(x) \\ &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \left( \hat{O} \varphi(x) \right)^* \hat{O} \varphi(x) \\ &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \left| \hat{O} \varphi(x) \right|^2 \geq 0 \end{aligned}$$

がわかる。

3.

まず、 $\hat{O} = t \Delta \hat{x} - i \Delta \hat{p}$ のとき、 $\hat{O}^\dagger = t \Delta \hat{x} + i \Delta \hat{p}$ である。 また、正準交換関係 $\hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i \hbar$ から、 $\Delta \hat{x} \Delta \hat{p} - \Delta \hat{p} \Delta \hat{x} = i \hbar$ がわかるので、

$$\begin{aligned} \langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle &= \left\langle \left( t \Delta \hat{x} + i \Delta \hat{p} \right) \left( t \Delta \hat{x} - i \Delta \hat{p} \right) \right\rangle \\ &= t^2 \left\langle \left( \Delta \hat{x} \right)^2 \right\rangle - it \left\langle \Delta \hat{x} \Delta \hat{p} - \Delta \hat{p} \Delta \hat{x} \right\rangle + \left\langle \left( \Delta \hat{p} \right)^2 \right\rangle \\ &= t^2 \left( \Delta x \right)^2 + \hbar t + \left( \Delta p \right)^2 \\ &= \left( \Delta x \right)^2 \left( t + \frac{\hbar}{2 \left( \Delta x \right)^2} \right) - \frac{\hbar^2}{2 \left( \Delta x \right)^2} + \left( \Delta p \right)^2 \end{aligned}$$

である。

一方、2. から、任意の実数 $t$ について $\langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle \geq 0$ であるから、

$$\begin{aligned} - \frac{\hbar^2}{2 \left( \Delta x \right)^2} + \left( \Delta p \right)^2 &\geq 0 \\ \therefore \ \ \Delta x \Delta p &\geq \frac{\hbar}{2} \end{aligned}$$

がわかる。

4.

$\hat{O}$ が固有値 $0$ をもつということは、それに属する固有関数について $\langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle = 0$ が成り立つということである。3. より、その条件は

$$\begin{aligned} t = - \frac{\hbar}{2 ( \Delta x )^2} , \ \ \Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2} \end{aligned}$$

である。

5.

次のように書くことにする：

$$\begin{aligned} s^2 = \left( \Delta x \right)^2 , \ \ \bar{x} = \langle \hat{x} \rangle , \ \ \bar{p} = \langle \hat{p} \rangle \end{aligned}$$

4. で求めた $t$ を使って $\hat{O}$ は次のようになる：

$$\begin{aligned} \hat{O} &= - \frac{\hbar}{2 s^2} \left( \hat{x} - \bar{x} \right) - i \left( \hat{p} - \bar{p} \right) \\ &= - \frac{\hbar}{2 s^2} \left( x - \bar{x} \right) - i \left( \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} - \bar{p} \right) \\ &= - \hbar \left( \frac{d}{dx} + \frac{ x - \bar{x} }{2 s^2} - \frac{i \bar{p}}{\hbar} \right) \end{aligned}$$

求める波動関数 $u(x)$ は、$\hat{O} u(x) = 0$ が成り立つので、

$$\begin{aligned} \frac{du(x)}{dx} &= \left( - \frac{ x - \bar{x} }{2 s^2} + \frac{i \bar{p}}{\hbar} \right) u(x) \\ \frac{du}{u} &= \left( - \frac{ x - \bar{x} }{2 s^2} + \frac{i \bar{p}}{\hbar} \right) dx \\ \therefore \ \ u(x) &= C \exp \left( - \frac{ (x - \bar{x})^2 }{4 s^2} + \frac{i \bar{p} x}{\hbar} \right) \end{aligned}$$

ここで $C$ は積分定数であり、規格化条件から $C = 1/(2 \pi s^2)^{1/4}$ がわかるので、結局、

$$\begin{aligned} u(x) = \left( \frac{1}{2 \pi s^2} \right)^\frac{1}{4} \exp \left( - \frac{ (x - \bar{x})^2 }{4 s^2} + \frac{i \bar{p} x}{\hbar} \right) \end{aligned}$$

を得る。