東京大学 理学系研究科 物理学専攻 2021年8月実施 専門科目 第1問

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Miyake

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【問 1】

量子力学において不確定性関係式は重要な役割を果たす。与えられた量子状態に対する、位置演算子 と運動量演算子 の標準偏差を

と定義しよう。ここで、 は演算子 の量子力学的期待値である。以下の設問に答えよ。なお、必要があれば次の積分公式を使ってもよい。

また、 はプランク定数を で割った量とする。

1. 波動関数

に対して 、 を計算し、その結果を物理的に解釈せよ。

2. 一般に、 と の間には不等式

が成立する。これを示すために、まず、任意の演算子 とそのエルミート共役演算子 に対して

が成立することを示せ。

3. 次に、 ( は任意の実数) とおくことで不等式 (1) を示せ。

4. 設問 3 の の固有値が 0 を含むための に関する条件を述べ、固有値 0 に対応する固有状態が不等式 (1) の等号を満足することを示せ。

5. 不等式 (1) の等号が成立する状態を最小不確定状態という。設問 4 の結果を用いて、最小不確定状態を記述するように規格化された波動関数を求めよ。

Kai

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東大理学系研究科 物理学専攻 令和4年度 専門科目 第1問

1.

は に比例し、 は に反比例するので、 と は互いに反比例し、 である。 これは与えられた (1) の等号が成り立つ場合であり、最小不確定状態である。

2.

波動関数 で表される状態について、

がわかる。

3.

まず、 のとき、 である。 また、正準交換関係 から、 がわかるので、

である。

一方、2. から、任意の実数 について であるから、

がわかる。

4.

が固有値 をもつということは、それに属する固有関数について が成り立つということである。3. より、その条件は

である。

5.

次のように書くことにする：

4. で求めた を使って は次のようになる：

求める波動関数 は、 が成り立つので、

ここで は積分定数であり、規格化条件から がわかるので、結局、

を得る。