東京大学 理学系研究科 物理学専攻 2019年8月実施 物理学 第2問

Author

Miyake

Description

第2問

体積 、粒子数 の系が温度 の熱浴と接触している状況を考える。粒子の質量を とし、粒子間の相互作用は考えない。必要であれば、熱力学の関係式

を用いてよい。ここで、 は系の内部エネルギー、 は熱量、 は圧力、 は化学ポテンシャル、 はエントロピー、 はヘルムホルツの自由エネルギーである。

まず粒子を古典的に扱う。この場合、分配関数は

で、ハミルトニアン は

で与えられる。ここで は 番目の粒子の運動量、 は 番目の粒子の位置座標、 はプランク定数 、で、 はボルツマン定数である。

1. 式 (2) の積分を実行し、を求めよ。さらに、得られた結果を用いて、この系の圧力 を求めよ。必要であれば

を用いてよい。

2. 式 (2) には、 という因子がついている。もしこの因子が無かったとすると、ヘルムホルツの自由エネルギーが、ある熱力学的性質を満たさなくなる。このことを簡潔に説明せよ。

3. この系のエントロピー を求めよ。 としたときに、古典的には はどうなるか述べよ。

4. 体積が一定のときの熱容量 を求めよ。

以下では、粒子がフェルミ粒子であるとして、量子力学的に扱う。系は化学ポテンシャル の粒子浴に接しているとして、グランドカノニカル分布で考える。粒子の運動エネルギーを

と表す。ここで は粒子の波数を表す。また、体積 は一辺の長さ の立方体とし 、周期境界条件が満たされるものとする。ただし、スピンなどの粒子の内部自由度は考えなくてよい。

5. この系の大分配関数 は

である。この式で、波数 が取り得る値を求めよ。

6. 大分配関数を用いて、全粒子数の期待値 が

となることを示せ。ここで はフェルミ分布関数

である。

7. フェルミ粒子系の縮退温度より十分高い温度では、 は負で絶対値の大きな値 となる。この場合、フェルミ分布関数は

と近似してよい。このような温度領域で、 が十分大きいとして式 (7) の の取り得る値についての和を積分の形に書き直して積分を実行し、 を と （簡単のために と書いてよい）の関数として求めよ。

8. 設問 7 と同様の温度領域におけるエントロピーが、近似的に となることを示せ。

9. 一方、縮退温度より十分低い温度では、この自由フェルミ粒子系の熱容量 は に比例して と書けることがわかっている。このことと設問 8 の結果を考慮して、フェルミ粒子系でのエントロピーを温度の関数としてグラフにせよ。 比較のために、設問 3 で考えたエントロピーの温度依存性も点線で書き加えよ。

Kai

1.

であるから、

を得る。

よって、ヘルムホルツの自由エネルギー は次のように求められる：

そこで、 を考慮して、 圧力 は次のように求められる：

2.

因子 がないと、ヘルムホルツの自由エネルギーが示量性を満たさなくなる。 すなわち、

が成り立たなくなる。

3.

のとき となる。

4.

5.

周期的境界条件から、 なので、整数 を使って、

同様に、整数 を使って、

6.

グランドポテンシャル は、次のようになる：

よって、

7.

与えられた近似の下で積分を実行すると、次のようになる：

これを について解く：

8.

9.