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東京大学 理学系研究科 物理学専攻 2019年度 数学 第1問

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

tr⁡X\operatorname{tr}X は正方行列のトレース、det⁡X\det X は行列式、[X,Y]=XY−YX[X,Y]=XY-YX、XTX^{\mathsf T} は転置、X†X^\dagger はエルミート共役、II は単位行列とする。行列指数関数を eX=∑k=0∞Xk/k!e^X=\sum_{k=0}^{\infty}X^k/k! で定義する。

  1. A,BA,B を有限次元のエルミートかつトレースレス行列とする。以下を示せ。エルミート行列のユニタリー対角化および det⁡(XY)=det⁡Xdet⁡Y\det(XY)=\det X\det Y を用いてよい。
    • (i) i[A,B]i[A,B] はエルミートかつトレースレスである。
    • (ii) U=eiAU=e^{iA} はユニタリー行列である。
    • (iii) U=eiAU=e^{iA} は det⁡U=1\det U=1 を満たす。

任意のトレースレスな3行3列エルミート行列は、8個の実数 α1,…,α8\alpha_1,\ldots,\alpha_8 と8個のトレースレスなエルミート行列 T1,…,T8T_1,\ldots,T_8 を用いて

T=(α7α1−iα2α3−iα4α1+iα2α8α5−iα6α3+iα4α5+iα6−α7−α8)=∑a=18αaTaT=\begin{pmatrix} \alpha_7&\alpha_1-i\alpha_2&\alpha_3-i\alpha_4\\ \alpha_1+i\alpha_2&\alpha_8&\alpha_5-i\alpha_6\\ \alpha_3+i\alpha_4&\alpha_5+i\alpha_6&-\alpha_7-\alpha_8 \end{pmatrix} =\sum_{a=1}^8\alpha_aT_a

と表せる。

  1. T1,T2,T7T_1,T_2,T_7 を具体的に書け。
  2. 設問1(i)より、実数 Aab,cA_{ab,c} を用いて [Ta,Tb]=i∑c=18Aab,cTc[T_a,T_b]=i\sum_{c=1}^8 A_{ab,c}T_c と書ける。A71,2A_{71,2} と A56,8A_{56,8} を求めよ。
  3. 実数 θ\theta を用いて U=eiθTU=e^{i\theta T} と定め、3成分複素ベクトル x,yx,y に対して x′=Ux,y′=Uyx'=Ux,y'=Uy とする。
    • (i) Ga=x†TayG_a=x^\dagger T_ay、Ga′=x′†Tay′G'_a=x'^\dagger T_ay' とおく。Ga′=Ga+iθ∑b=18HabGb+O(θ2)G'_a=G_a+i\theta\sum_{b=1}^8H_{ab}G_b+O(\theta^2) と書けることを示し、HabH_{ab} を求めよ。
    • (ii) zi=∑j,k=13ϵijkxjykz_i=\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk}x_jy_k、zi′=∑j,k=13ϵijkxj′yk′z'_i=\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk}x'_jy'_k とおき、z=(z1,z2,z3)Tz=(z_1,z_2,z_3)^{\mathsf T}、z′=(z1′,z2′,z3′)Tz'=(z'_1,z'_2,z'_3)^{\mathsf T} とする。z′=(I+iθM)z+O(θ2)z'=(I+i\theta M)z+O(\theta^2) と書けることを示し、MM を求めよ。ϵijk\epsilon_{ijk} は ϵ123=1\epsilon_{123}=1 の3階完全反対称テンソルであり、次式を用いてよい。
∑k=13ϵijkϵklm=δilδjm−δimδjl.\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} =\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.

题目描述​

  1. 对有限维无迹厄米矩阵 A,BA,B，证明 i[A,B]i[A,B] 仍为无迹厄米矩阵、eiAe^{iA} 为酉矩阵且行列式为1。
  2. 按上式给定的八个实参数写出基矩阵 T1,T2,T7T_1,T_2,T_7。
  3. 对 [Ta,Tb]=i∑cAab,cTc[T_a,T_b]=i\sum_cA_{ab,c}T_c，求 A71,2A_{71,2} 和 A56,8A_{56,8}。
  4. 令 U=eiθTU=e^{i\theta T}、x′=Ux,y′=Uyx'=Ux,y'=Uy。①将 Ga′=x′†Tay′G'_a=x'^\dagger T_ay' 展开至 θ\theta 一阶，求相对于 Gb=x†TbyG_b=x^\dagger T_by 的矩阵 HH；②对无复共轭的叉积 z=x×yz=x\times y、z′=x′×y′z'=x'\times y'，求一阶变换矩阵 MM。可使用上面的 Levi-Civita 符号缩并恒等式。

Kai​

1​

(i) エルミート性から

(i[A,B])†=−i(B†A†−A†B†)=i[A,B].\bigl(i[A,B]\bigr)^\dagger=-i(B^\dagger A^\dagger-A^\dagger B^\dagger)=i[A,B].

また、トレースの巡回性により tr⁡(i[A,B])=i{tr⁡(AB)−tr⁡(BA)}=0\operatorname{tr}(i[A,B])=i\{\operatorname{tr}(AB)-\operatorname{tr}(BA)\}=0。

(ii) A=VDV†A=VDV^\dagger と対角化する。D=diag⁡(d1,…,dn)D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n) は実対角行列なので

U=VeiDV†,U†U=Ve−iDeiDV†=I.U=Ve^{iD}V^\dagger,\qquad U^\dagger U=Ve^{-iD}e^{iD}V^\dagger=I.

(iii) ∑jdj=tr⁡A=0\sum_jd_j=\operatorname{tr}A=0 より

det⁡U=∏jeidj=ei∑jdj=1.\boxed{\det U=\prod_je^{id_j}=e^{i\sum_jd_j}=1}.

2​

各実パラメータの係数を読み取ると

T1=(010100000),T2=(0−i0i00000),T7=(10000000−1).\boxed{T_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad T_2=\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad T_7=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}.

3​

[T7,T1]=(010−100000)=iT2,[T_7,T_1]=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=iT_2,
[T5,T6]=(00002i000−2i)=2iT8.[T_5,T_6]=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2i&0\\0&0&-2i\end{pmatrix}=2iT_8.

したがって

A71,2=1,A56,8=2.\boxed{A_{71,2}=1,\qquad A_{56,8}=2}.

4(i)​

U=I+iθT+O(θ2)U=I+i\theta T+O(\theta^2)、U†=I−iθT+O(θ2)U^\dagger=I-i\theta T+O(\theta^2) より

Ga′=x†U†TaUy=Ga+iθx†[Ta,T]y+O(θ2)=Ga+iθ∑b=18(i∑c=18αcAac,b)Gb+O(θ2).\begin{aligned} G'_a &=x^\dagger U^\dagger T_aUy\\ &=G_a+i\theta x^\dagger[T_a,T]y+O(\theta^2)\\ &=G_a+i\theta\sum_{b=1}^8\left(i\sum_{c=1}^8\alpha_cA_{ac,b}\right)G_b+O(\theta^2). \end{aligned}

よって

Hab=i∑c=18αcAac,b.\boxed{H_{ab}=i\sum_{c=1}^8\alpha_cA_{ac,b}}.

4(ii)​

任意の可逆な3次行列 UU に対し、行列式の交代性から

(Ux)×(Uy)=det⁡(U)U−T(x×y)(Ux)\times(Uy)=\det(U)U^{-\mathsf T}(x\times y)

が成り立つ。実際、任意の ww との双線形内積をとると

(Uw)T{(Ux)×(Uy)}=det⁡[Uw,Ux,Uy]=det⁡(U) wT(x×y)(Uw)^{\mathsf T}\{(Ux)\times(Uy)\} =\det[Uw,Ux,Uy] =\det(U)\,w^{\mathsf T}(x\times y)

となり、上式が従う。設問1より det⁡U=1\det U=1、また

U−T=e−iθTT=I−iθTT+O(θ2)U^{-\mathsf T}=e^{-i\theta T^{\mathsf T}} =I-i\theta T^{\mathsf T}+O(\theta^2)

なので

M=−TT=−(α7α1+iα2α3+iα4α1−iα2α8α5+iα6α3−iα4α5−iα6−α7−α8).\boxed{M=-T^{\mathsf T} =-\begin{pmatrix} \alpha_7&\alpha_1+i\alpha_2&\alpha_3+i\alpha_4\\ \alpha_1-i\alpha_2&\alpha_8&\alpha_5+i\alpha_6\\ \alpha_3-i\alpha_4&\alpha_5-i\alpha_6&-\alpha_7-\alpha_8 \end{pmatrix}}.

Reference​

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