東京大学 理学系研究科 物理学専攻 2018年8月実施 数学 第1問

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• 东京大学
• 酉矩阵
• 矩阵指数

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

以下の設問に答えよ。ただし正方行列 $X,Y$ に対して $\operatorname{tr}X$ は $X$ のトレース、$\det X$ は $X$ の行列式を表し、

$$[X,Y]=XY-YX,\qquad e^X=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{X^k}{k!}$$

とする。また、行列 $X$ に対して、$X^{\mathsf T}$ は $X$ の転置、$X^\dagger$ は $X$ のエルミート共役（転置の複素共役）を表す。ベクトル $x$ に対して $x^{\mathsf T}$ および $x^\dagger$ も同様である。$I$ は単位行列を表す。虚数単位を $i$ とする。

1. $A,B$ をエルミート（$A^\dagger=A,B^\dagger=B$）かつトレースレス（$\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B=0$）な有限次元の行列とする。以下の (i)〜(iii) を示せ。ただしエルミート行列 $A$ が対角行列 $D$ とユニタリー行列 $V$（$V^\dagger V=I$）を用いて $A=VDV^\dagger$ と対角化できること、および同じ型の正方行列 $X,Y$ に対して $\det(XY)=\det X\det Y$ が成り立つことを用いてもよい。

   (i) $i[A,B]$ はエルミートかつトレースレスである。

   (ii) $U=e^{iA}$ はユニタリー行列（$U^\dagger U=I$）である。

   (iii) $U=e^{iA}$ は $\det U=1$ をみたす。

任意のトレースレスな3行3列エルミート行列 $T$ は8つの実数 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_8$ と8つのトレースレスな3行3列エルミート行列 $T_1,T_2,\ldots,T_8$ を用いて以下のように表すことができる。

$$T=\begin{pmatrix} \alpha_7&\alpha_1-i\alpha_2&\alpha_3-i\alpha_4\\ \alpha_1+i\alpha_2&\alpha_8&\alpha_5-i\alpha_6\\ \alpha_3+i\alpha_4&\alpha_5+i\alpha_6&-\alpha_7-\alpha_8 \end{pmatrix} =\sum_{a=1}^8\alpha_aT_a.$$

2. 行列 $T_1,T_2,T_7$ の具体形を書け。

3. 設問1の (i) より、定数 $A_{ab,c}$（$a,b,c=1,2,\ldots,8$）を用いて

$$[T_a,T_b]=i\sum_{c=1}^8 A_{ab,c}T_c$$

と書ける。$A_{71,2}$ および $A_{56,8}$ を求めよ。

4. 実数 $\theta$ を用いて行列 $U$ を

$$U=e^{i\theta T}=\exp\left(i\theta\sum_{a=1}^8\alpha_aT_a\right)$$

と定義し、複素3成分のベクトル $x=(x_1,x_2,x_3)^{\mathsf T}$、$y=(y_1,y_2,y_3)^{\mathsf T}$、およびそれらに $U$ をかけたベクトル $x'=Ux$、$y'=Uy$ を考える。

(i) $G_a=x^\dagger T_ay$、$G'_a=x'^\dagger T_ay'$ とする（$a=1,2,\ldots,8$）。$G'_a$ を $\theta$ の1次まで展開すると、

$$G'_a=G_a+i\theta\sum_{b=1}^8H_{ab}G_b+O(\theta^2)$$

の形に書けることを示し、$H_{ab}$ を求めよ。

(ii)

$$z_i=\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk}x_jy_k,\qquad z'_i=\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk}x'_jy'_k$$

とし、$z=(z_1,z_2,z_3)^{\mathsf T}$、$z'=(z'_1,z'_2,z'_3)^{\mathsf T}$ とする。$z'$ を $\theta$ の1次まで展開すると

$$z'=(I+i\theta M)z+O(\theta^2)$$

の形に書けることを示し、行列 $M$ を求めよ。ただし $\epsilon_{ijk}$ は3階の完全反対称テンソルで、$\epsilon_{123}=1$、$\epsilon_{ijk}=-\epsilon_{jik}=-\epsilon_{kji}$ である。

$$\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} =\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$$

を用いてよい（$\delta_{ij}$ 等はクロネッカーのデルタを表す）。

题目描述

回答以下各问。对方阵 $X,Y$，$\operatorname{tr}X$ 表示 $X$ 的迹，$\det X$ 表示行列式，并定义

$$[X,Y]=XY-YX,\qquad e^X=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{X^k}{k!}.$$

对矩阵 $X$，$X^{\mathsf T}$ 表示转置，$X^\dagger$ 表示厄米共轭（转置的复共轭）。对向量 $x$ 的 $x^{\mathsf T}$ 和 $x^\dagger$ 也作同样定义。$I$ 为单位矩阵，$i$ 为虚数单位。

1. 设 $A,B$ 是有限维厄米矩阵（$A^\dagger=A,B^\dagger=B$），且均无迹（$\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B=0$）。证明以下 (i)〜(iii)。可以使用：厄米矩阵 $A$ 能通过对角矩阵 $D$ 和酉矩阵 $V$（$V^\dagger V=I$）写为 $A=VDV^\dagger$；同型方阵 $X,Y$ 满足 $\det(XY)=\det X\det Y$。

   (i) $i[A,B]$ 为无迹厄米矩阵。

   (ii) $U=e^{iA}$ 为酉矩阵（$U^\dagger U=I$）。

   (iii) $U=e^{iA}$ 满足 $\det U=1$。

任意无迹的 $3\times3$ 厄米矩阵 $T$，都能用8个实数 $\alpha_1,\ldots,\alpha_8$ 和8个无迹的 $3\times3$ 厄米矩阵 $T_1,\ldots,T_8$ 表示为

$$T=\begin{pmatrix} \alpha_7&\alpha_1-i\alpha_2&\alpha_3-i\alpha_4\\ \alpha_1+i\alpha_2&\alpha_8&\alpha_5-i\alpha_6\\ \alpha_3+i\alpha_4&\alpha_5+i\alpha_6&-\alpha_7-\alpha_8 \end{pmatrix} =\sum_{a=1}^8\alpha_aT_a.$$

2. 写出矩阵 $T_1,T_2,T_7$ 的具体形式。

3. 由第1问 (i)，可用常数 $A_{ab,c}$（$a,b,c=1,2,\ldots,8$）写成

$$[T_a,T_b]=i\sum_{c=1}^8A_{ab,c}T_c.$$

求 $A_{71,2}$ 和 $A_{56,8}$。

4. 用实数 $\theta$ 定义矩阵

$$U=e^{i\theta T}=\exp\left(i\theta\sum_{a=1}^8\alpha_aT_a\right).$$

考虑三分量复向量 $x=(x_1,x_2,x_3)^{\mathsf T}$、$y=(y_1,y_2,y_3)^{\mathsf T}$，以及左乘 $U$ 后的向量 $x'=Ux$、$y'=Uy$。

(i) 令 $G_a=x^\dagger T_ay$、$G'_a=x'^\dagger T_ay'$（$a=1,2,\ldots,8$）。证明将 $G'_a$ 展开到 $\theta$ 的一阶，可以写成

$$G'_a=G_a+i\theta\sum_{b=1}^8H_{ab}G_b+O(\theta^2),$$

并求 $H_{ab}$。

(ii) 定义

$$z_i=\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk}x_jy_k,\qquad z'_i=\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk}x'_jy'_k,$$

以及 $z=(z_1,z_2,z_3)^{\mathsf T}$、$z'=(z'_1,z'_2,z'_3)^{\mathsf T}$。证明将 $z'$ 展开到 $\theta$ 的一阶，可以写成

$$z'=(I+i\theta M)z+O(\theta^2),$$

并求矩阵 $M$。这里 $\epsilon_{ijk}$ 为三阶完全反对称张量，满足 $\epsilon_{123}=1$、$\epsilon_{ijk}=-\epsilon_{jik}=-\epsilon_{kji}$。可以使用

$$\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} =\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl},$$

其中 $\delta_{ij}$ 等表示克罗内克符号。

Kai

1

(i) エルミート性から

$$\bigl(i[A,B]\bigr)^\dagger=-i(B^\dagger A^\dagger-A^\dagger B^\dagger)=i[A,B].$$

また、トレースの巡回性により $\operatorname{tr}(i[A,B])=i\{\operatorname{tr}(AB)-\operatorname{tr}(BA)\}=0$。

(ii) $A=VDV^\dagger$ と対角化する。$D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)$ は実対角行列なので

$$U=Ve^{iD}V^\dagger,\qquad U^\dagger U=Ve^{-iD}e^{iD}V^\dagger=I.$$

(iii) $\sum_jd_j=\operatorname{tr}A=0$ より

$$\boxed{\det U=\prod_je^{id_j}=e^{i\sum_jd_j}=1}.$$

2

各実パラメータの係数を読み取ると

$$\boxed{T_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$$

$$\boxed{T_2=\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$$

$$\boxed{T_7=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}.$$

3

$$[T_7,T_1]=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=iT_2,$$

$$[T_5,T_6]=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2i&0\\0&0&-2i\end{pmatrix}=2iT_8.$$

したがって

$$\boxed{A_{71,2}=1,\qquad A_{56,8}=2}.$$

4(i)

$U=I+i\theta T+O(\theta^2)$、$U^\dagger=I-i\theta T+O(\theta^2)$ より

$$\begin{aligned} G'_a &=x^\dagger U^\dagger T_aUy\\ &=G_a+i\theta x^\dagger[T_a,T]y+O(\theta^2)\\ &=G_a+i\theta\sum_{b=1}^8\left(i\sum_{c=1}^8\alpha_cA_{ac,b}\right)G_b+O(\theta^2). \end{aligned}$$

よって

$$\boxed{H_{ab}=i\sum_{c=1}^8\alpha_cA_{ac,b}}.$$

4(ii)

任意の可逆な3次行列 $U$ に対し、行列式の交代性から

$$(Ux)\times(Uy)=\det(U)U^{-\mathsf T}(x\times y)$$

が成り立つ。実際、任意の $w$ との双線形内積をとると

$$\begin{aligned} (Uw)^{\mathsf T}\{(Ux)\times(Uy)\} &=\det[Uw,Ux,Uy]\\ &=\det(U)\,w^{\mathsf T}(x\times y). \end{aligned}$$

となり、上式が従う。設問1より $\det U=1$、また

$$U^{-\mathsf T}=e^{-i\theta T^{\mathsf T}} =I-i\theta T^{\mathsf T}+O(\theta^2)$$

なので

$$\boxed{M=-T^{\mathsf T} =-\begin{pmatrix} \alpha_7&\alpha_1+i\alpha_2&\alpha_3+i\alpha_4\\ \alpha_1-i\alpha_2&\alpha_8&\alpha_5+i\alpha_6\\ \alpha_3-i\alpha_4&\alpha_5-i\alpha_6&-\alpha_7-\alpha_8 \end{pmatrix}}.$$

Reference

• 東京大学公式問題（PDF 5ページ）
• Miyake：参考解答