東京大学 理学系研究科 天文学専攻 2022年8月実施 天文学

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Author

Miyake

Description

問 1.

光子1つ1つを検出できる単光子検出器を用いて, 天体から定常的に放射される光子の検出器への入射イベント(光子イベント)を測定する. 天体からの放射は相互に独立に起こる事象であるため, ある測定時間内に検出される光子イベント数 $x$ ($0$ 以上の整数)は確率変数となり,その確率分布は以下のようにポアソン分布に従う.

$$f(x)=\frac{\lambda^{x}}{x!} e^{-\lambda} \tag{1}$$

ここで $\lambda$ は $x$ の期待値である. なお, $0! = 1$ である.

以下では, 天体から $1$ 秒間に平均で $n$ 個の光子イベントが検出される場合を考える.

(a) $t^{\prime}$ 秒間に検出される光子イベント数が $0$ 個である確率 $p\left(t^{\prime}\right)$ をもとめよ.

(b) $p\left(t^{\prime}\right)$ は, ある光子イベントと次の光子イベントの検出時刻の間隔 (待ち時間) が $t^{\prime}$ 秒より長くなる確率とも解釈できる. 光子イベントの待ち時間を確率変数 $t$ とし, その確率密度関数を $g(t)$ とすると,

$$p(t')=\int_{t'}^\infty g(t)dt \tag{2}$$

の関係が成り立つ. このことから,

$$g(t)=ne^{-nt} \tag{3}$$

となることを示せ.

($c$) 光子イベントの待ち時間 $t$ の期待値をもとめよ.

問 2.

光子イベントの待ち時間に見られる性質は, 相互に独立に発生する天体現象である超新星イベント (星の爆発現象) においても期待される. 以下では, ある観測時間内に発生する超新星イベントの数は確率変数であり, その確率分布はポアソン分布に従うものとする. 私達の銀河系の中およびその近傍 (近傍宇宙) では, 西暦 1987 年に出現した SN1987A が最後に観測された超新星イベントである.

地球から観測できる近傍宇宙における超新星イベントの頻度が50年に1回であるとし, SN1987Aの次の超新星イベントが西暦 $Y$ 年に発生するとする。西暦 1987 年から $Y$ 年の間に超新星イベントが発生する確率が $0.5$ となる $Y$ 年を整数で答えよ. 計算において自然対数 $\ln(2)=0.693$ の近似値を使っても良い.

問 3.

光電効果により生成される電子を蓄積する検出器を用いて, 天体から定常的に放射される光子を観測することを考える. $t$ 秒間の露光で検出器内に蓄積される電子の数を $X_{s}$ とする.

$X_{s}$ は確率変数であり, その確率分布はポアソン分布に従う. 式 (1) のポアソン分布は期待値 $\lambda$ が十分に大きい場合に, 正規分布 $\mathrm{N}(\lambda,\lambda)$ で近似できることが知られている. 以下では, $X_{s}$ は,その期待値が十分に大きいため, 正規分布に従うものとする. また, $t$ 秒間の露光終了後, 蓄積された電子の総数の測定値 $X_{m}$ を得る際に, 測定誤差 $X_{r}$ が生じるとする $(X_m=X_s+X_r)$. $X_{r}$も確率変数であり, $\mathrm{N}(0,\sigma_r^2)$ の正規分布に従うものとする. $\sigma_r^2$ は $X_{r}$ の分散である. なお, 正規分布は以下の特徴を持つことが知られている.

(定義) 正規分布に従う確率変数 $x$ の確率密度関数は,

$$\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \tag{4}$$

と表される. ここで $\mu$ は $x$ の期待値, $\sigma^2$ は $x$ の分散である.

(正規分布の再生性) $X,Y$ をそれぞれ正規分布 $N(\mu_1,\sigma_1^2), N(\mu_2,\sigma_2^2)$ に従う独立な確率変数とすると, $X+Y$の確率分布は $N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ に従う.

(標準正規分布の線形変換) 確率変数 $X$ の確率分布が標準正規分布 $N(0,1)$に従う場合，確率変数 $Y=aX+b$ の確率分布は $N(b,a^2)$ に従う. $a$ と $b$ は実数である.

(中心極限定理) 期待値 $\mu$ ,分散 $\sigma^2$ を持つ任意の確率分布に従う $n$ 個の値を $s_1,s_2,\cdots s_n$ とした場合，

$$z=\frac1{\sigma\sqrt{n}}\left(\sum_{i=1}^ns_i-n\mu\right) \tag{5}$$

の確率分布は, $n$ が十分に大きい時に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う.

天体から１秒間に平均で $m$ 個の光子が検出器に入射している場合を考える. ただし, 検出器に入射した各光子は $1$ つの電子に変換される (量子効率 $=1$ ) とする.

(a) $X_m$ が従う確率密度関数 $h(X_m)$ を, $X_m,t,m,\sigma_r$ の関数としてもとめよ.

(b) 測定値の信頼度を示す指標として, 信号ノイズ比 ($\mathrm{S/N}$ 比) を定義する. これは, 測定値が, 測定値の標準偏差の何倍かで定義される値である. $m = 40, \sigma_r = 20$ の時, ($\mathrm{S/N}$ 比) の期待値が $30$ となる露光時間をもとめよ.

問 4.

計算機上で疑似観測データを生成する方法を考える. 区間 $(0, 1)$上に一様分布するように生成した $j\ (\gg1)$ 個の乱数 $q_1,q_2,\cdots q_j$ を $k$ （≫ 1）セット準備する. これらと中心極限定理を用いて, 問 3(a) の $h(X_m)$ の確率分布に従う $k$ 個の数値データ $w_1,w_2,\cdots w_k$ を生成する方法を説明せよ. なお, 区間 $(0, 1)$ の一様分布の期待値は $\frac12$ , 分散は $\frac1{12}$ であることが知られている.

题目描述

问题 1

用单光子探测器测量天体稳定辐射的、彼此独立的光子到达事件。在固定测量时间内探测到的光子数 $x\in\{0,1,\ldots\}$ 服从 Poisson 分布

$$P(x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda},$$

其中 $\lambda=\mathbb E[x]$，且 $0!=1$。以下设平均每秒探测到 $n$ 个光子。

• （a）求 $t'$ 秒内一个光子也未探测到的概率 $p(t')$。
• （b）$p(t')$ 也可解释为相邻两次光子事件之间的等待时间超过 $t'$ 的概率。若等待时间随机变量为 $t$、密度为 $g(t)$，满足
  $$p(t')=\int_{t'}^\infty g(t)\,\mathrm dt,$$
  证明 $g(t)=ne^{-nt}$。
• （c）求等待时间 $t$ 的期望。

问题 2

假设近邻宇宙中的超新星事件彼此独立，给定时间内的事件数服从 Poisson 分布；可从地球观测到的发生频率为每 $50$ 年一次，最近一次为 1987 年的 SN1987A。设下一次发生在公元 $Y$ 年，求使 1987 年至 $Y$ 年间至少发生一次超新星的概率为 $0.5$ 的整数年份 $Y$。可用 $\ln2\approx0.693$。

问题 3

用积累光电效应电子的探测器观测稳定光源。曝光 $t$ 秒后积累的电子数为 $X_s$，其 Poisson 均值足够大，因此近似服从 $N(\lambda,\lambda)$。读出总电子数时产生测量误差 $X_r\sim N(0,\sigma_r^2)$，测量值为 $X_m=X_s+X_r$。可使用：独立正态变量之和的均值、方差分别相加；若 $X\sim N(0,1)$，则 $aX+b\sim N(b,a^2)$；以及中心极限定理。

假设平均每秒有 $m$ 个光子入射，且每个光子恰转换为一个电子。

• （a）用 $X_m,t,m,\sigma_r$ 写出 $X_m$ 的概率密度 $h(X_m)$。
• （b）定义信噪比 S/N 为测量值相对于其标准差的倍数。取 $m=40$、$\sigma_r=20$，求使 S/N 的期望为 $30$ 的曝光时间。

问题 4

考虑用计算机生成伪观测数据。准备 $k\gg1$ 组随机数，每组含 $j\gg1$ 个在 $(0,1)$ 上均匀分布的独立随机数 $q_1,\ldots,q_j$。已知该均匀分布均值为 $1/2$、方差为 $1/12$。说明如何结合这些随机数与中心极限定理，生成服从问题 3（a）中密度 $h(X_m)$ 的 $k$ 个数值 $w_1,\ldots,w_k$。

考点

• 光子计数 Poisson 过程：由零事件概率推导指数等待时间分布及均值。
• 指数分布的事件时间：把超新星发生率换成生存概率并求中位等待年份。
• 曝光时间与信噪比：将光子散粒噪声和读出噪声的独立方差相加，求测量分布及目标 S/N 所需曝光。
• 独立正态变量的线性组合：利用正态分布再生性得到测量值均值与方差。
• 基于中心极限定理的噪声模拟：标准化大量均匀随机数之和近似标准正态，再按目标均值、标准差作线性变换。

Kai

問 1.

(a)

$t'$ 秒間に検出される光子イベント数の平均は $nt'$ であるから、 式 (1) より、

$$\begin{aligned} p(t') &= \frac{(nt')^0}{0!} e^{-nt'} \\ &= e^{-nt'} \end{aligned}$$

がわかる。

(b)

式 (2) の両辺を $t'$ で微分すると、

$$\begin{aligned} \frac{dp(t')}{dt'} = - g(t') \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} g(t) &= - \frac{dp(t)}{dt} \\ &= ne^{-nt} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (a) } ) \end{aligned}$$

を得る。

((c))

$$\begin{aligned} \int_0^\infty t g(t) dt &= n \int_0^\infty t e^{-nt} dt \\ &= - \left[ t e^{-nt} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-nt} dt \\ &= - \frac{1}{n} \left[ e^{-nt} \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{n} \end{aligned}$$

問 2.

問 1. (b) の確率変数 $t$ の確率密度関数 $g(t)$ について、 $0 \leq t \leq T$ の確率が $1/2$ となるような $T$ を求める：

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} &= \int_0^T g(t) dt \\ &= n \int_0^T e^{-nt} dt \\ &= - \left[ e^{-nt} \right]_0^T \\ &= 1 - e^{-nT} \\ \therefore \ \ T &= \frac{1}{n} \ln (2) \end{aligned}$$

これに $n=1/50$ [回/年] を代入すると、

$$\begin{aligned} T &= 50 \times 0.693 \\ &= 34.65 \ \ \text{[年]} \end{aligned}$$

を得る。 $1987+34.65=2021.65$ であるから、求める $Y$ は $2021$ であろう。（1987年1月1日から2021年12月31年までの35年間を考えれば、確率 0.5 を超える。）

問 3.

(a)

$X_s$ は正規分布 $\mathrm{N}(mt, mt)$ に従うとしてよい。 $X_s$ と $X_r$ が独立であるとすると、 与えられた性質 (正規分布の再生性) より、 $X_m$ は正規分布 $\mathrm{N}(mt, mt+\sigma_r^2)$ に従うことがわかるので、

$$\begin{aligned} h(X_m) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi (mt + \sigma_r^2)}} \exp \left( - \frac{(X_m-mt)^2}{2(mt+\sigma_r^2)} \right) \end{aligned}$$

がわかる。

(b)

$X_m$ の期待値と標準偏差はそれぞれ

$$\begin{aligned} mt &= 40t, \\ \sqrt{mt+\sigma_r^2} &= \sqrt{40t+400} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \frac{40t}{\sqrt{40t+400}} = 30 \end{aligned}$$

となる $t \ (\gt 0)$ を求めると $t=30$ を得る。これが求める露光時間であろう。

問 4.

$\alpha \ (=1,2,\cdots,k)$ 番目のセットの $i \ (=1,2,\cdots,j)$ 番目の乱数を $q_i^{(\alpha)}$ とする。(5)式を考慮して、

$$\begin{aligned} z^{(\alpha)} &= \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{12}} \cdot \sqrt{j}} \left( \sum_{i=1}^j q_i^{(\alpha)} - j \cdot \frac{1}{2} \right) \\ &= 2 \sqrt{\frac{3}{j}} \sum_{i=1}^j q_i^{(\alpha)} - \sqrt{3j} \end{aligned}$$

とおくと、与えられた性質 (中心極限定理) より、これは標準正規分布 $\mathrm{N}(0,1)$ に従う。

よって、さらに

$$\begin{aligned} w_\alpha &= \sqrt{mt+\sigma_r^2} z^{(\alpha)} + mt \end{aligned}$$

とおくと、与えられた性質 (標準正規分布の線形変換) により、 これは正規分布 $\mathrm{N}(mt, mt+\sigma_r^2)$ に従うことがわかる。 このようにして $w_1, w_2, \cdots, w_k$ を生成すればよい。