東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目B 第8問

Author

藍色日和

Description

を の球面

とおく。また を 上の 級 形式全体とする。以下の問いに解答しなさい。

(1) 任意の に対して積分

は で有限の値に収束することを示しなさい。

(2) を正定数とする。任意の に対して積分

が で収束するような実数 の範囲を求めなさい。

Kai

(1)

まず極座標表示

を取り、

とおくと、問題の積分は

と表される。この積分はある 級関数 を用いて

と書ける。ここで第二項は で に収束するから、問題の積分は で に収束する。よって結果が示せた。

(2)

問題の積分はストークスの定理から

と表される。ここで積分

を考える。まず補題を 及び に適用して

と表す。このとき

と表される。ここで (1) で用いた極座標表示により、任意の に対して

は収束する。次に上記と同様に積分 を定義したとき、上の議論と同様に補題を用いて を分解すると、 は

とできる。このとき任意の に対して極限

は有限値に収束することが分かる。

以上から極限

は、 の取り方に関わらず、 が偶数の時は任意の に対して、 が奇数のときは任意の に対して収束することが分かる。

が奇数とする。このとき

と置くと、考える極限は

であり、これは に於いて発散する。

一方が偶数の時

と置くと、これも に於いて発散する。

以上をまとめると極限が収束するような の範囲は

である。

Knowledge

多変数版テイラーの定理

を 級関数とする。このとき任意の自然数 について

を満たす関数の族 が存在する。