東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目B 第8問

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• Scaling-of-Differential-Form-Integrals-on-Shrinking-Spheres

Author

藍色日和

Description

$S(r)$ を $\mathbb{R}^n$ の球面

$$S(r):=\{(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n|x_1^2+\cdots+x_n^2=r^2\}$$

とおく。また $\Omega^{k}(\mathbb{R}^n)$ を $\mathbb{R}^n$ 上の $C^\infty$ 級 $k$ 形式全体とする。以下の問いに解答しなさい。

(1) 任意の $\omega\in\Omega^{n-1}(\mathbb{R}^n)$ に対して積分

$$\frac{1}{r^n}\left|\int_{S(r)}\omega\right|$$

は $r\to+0$ で有限の値に収束することを示しなさい。

(2) $k$ を正定数とする。任意の $\omega\in\Omega^{n-1}(\mathbb{R}^n)$ に対して積分

$$\frac{1}{r^a}\left|\int_{S(r)}x_1^k\omega\right|$$

が $r\to+0$ で収束するような実数 $a$ の範囲を求めなさい。

题目描述

对 $r>0$，令

$$S(r):=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n \mathrel{\middle|} x_1^2+\cdots+x_n^2=r^2\right\},$$

即 $S(r)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中半径为 $r$ 的球面；并用 $\Omega^k(\mathbb{R}^n)$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 上所有 $C^\infty$ 级 $k$-形式组成的集合。回答下列问题：

1. 证明对任意 $\omega\in\Omega^{n-1}(\mathbb{R}^n)$，当 $r\to0^+$ 时，
   $$\frac{1}{r^n}\left|\int_{S(r)}\omega\right|$$
   收敛到某个有限值。
2. 设 $k$ 为正常数。求所有满足下述条件的实数 $a$ 的范围：对任意 $\omega\in\Omega^{n-1}(\mathbb{R}^n)$，当 $r\to0^+$ 时，
   $$\frac{1}{r^a}\left|\int_{S(r)}x_1^k\omega\right|$$
   都收敛。

考点

• 缩小球面上微分形式积分的尺度估计：需要研究光滑 $(n-1)$-形式在半径趋于零的球面上的积分阶数，并进一步判断乘上 $x_1^k$ 后，归一化指数 $a$ 在何种范围内能保证对任意 $\omega$ 都有有限极限。

Kai

(1)

まず極座標表示

$$x_1=s\cos\theta_1$$

$$x_2=s\sin\theta_1\cos\theta_2$$

$$x_3=s\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3$$

$$\cdots$$

$$x_n=s\cos\theta_1\cdots\sin\theta_{n-1}$$

を取り、

$$d\omega=f(x_1,\cdots,x_n)dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$$

$$g(s,\theta_1,\cdots,\theta_{n-1})=f(x_1,\cdots,x_n)$$

$$B(r)=\{(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n|x_1^2+\cdots+x_n^2\leq r^2\}$$

とおくと、問題の積分は

$$\frac{1}{r^n}\int_{B(r)}gs^{n-1}\sin^{n-2}\theta_1\sin^{n-3}\theta_2\cdots\sin\theta_{n-2}dsd\theta_1\cdots d\theta_n$$

と表される。この積分はある $C^\infty$ 級関数 $G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を用いて

$$\frac{1}{r^n}\int_{0}^rG(s)s^{n-1}ds=\frac{G(r)}{n}-\frac{1}{nr^n}\int_0^rH(s)s^{n}ds$$

と書ける。ここで第二項は $r\to+0$ で $0$ に収束するから、問題の積分は $r\to+0$ で $\frac{G(0)}{n}$ に収束する。よって結果が示せた。

(2)

問題の積分はストークスの定理から

$$k\int_{B(r)}x_1^{k-1}dx_1\wedge\omega+\int_{B(r)}x_1^kd\omega$$

と表される。ここで積分

$$I(2m-1,f):=\int_{B(r)}x_1^{2m-1}f(x)dx$$

を考える。まず補題を $f$ 及び $M=2$ に適用して

$$f(x)=c+\sum_{i=1}^nc_ix_i+\sum_{ij}c_{ij}x_ix_j+\sum_{ij}h_{ij}(x)x_ix_j$$

と表す。このとき

$$I(2m-1,f)=c_1\int_{B(r)}x_1^{2m}dx+\sum_{i,j}\int_{B(r)}h_{ij}(x)x_1^{2m-1}x_ix_jdx$$

と表される。ここで (1) で用いた極座標表示により、任意の $a\leq n+2m+1$ に対して

$$\lim_{r\to+0}\frac{I(2m-1,f)}{r^a}=\lim_{r\to+0}\frac{c_1}{r^a}\int_{B(r)}x_1^{2m}dx$$

は収束する。次に上記と同様に積分 $I(2m,f)$ を定義したとき、上の議論と同様に補題を用いて $f$ を分解すると、$I(2m,f)$ は

$$c\int_{B(r)}x_1^{2m}dx+\sum_{i=1}^mc_{i,i}\int_{B(r)}x_1^{2m}x_i^2dx+\int_{B(r)}x_1^{2m}h_{ij}(x)dx$$

とできる。このとき任意の $a\leq n+2m+1$ に対して極限

$$\lim_{r\to+0}\frac{I(2m,f)}{r^a}=\lim_{r\to+0}\frac{c}{r^a}\int_{B(r)}x_1^{2m}dx$$

は有限値に収束することが分かる。

以上から極限

$$\lim_{r\to+0}\frac{\int_{S(r)}x_1^k\omega}{r^a}$$

は、$\omega$ の取り方に関わらず、$k$ が偶数の時は任意の $M\leq n+k+1$ に対して、$k$ が奇数のときは任意の $M\leq n+k$ に対して収束することが分かる。

$k$ が奇数とする。このとき

$$\omega=dx_2\wedge\cdots\wedge dx_n$$

と置くと、考える極限は

$$\lim_{r\to+0}\frac{\int_{B(r)}x_1^{k-1}dx}{r^a}$$

であり、これは $a > n+k$ に於いて発散する。

一方$k$が偶数の時

$$\omega=x_2dx_1\wedge dx_3\wedge\cdots\wedge dx_n$$

と置くと、これも $a > n+k+1$ に於いて発散する。

以上をまとめると極限が収束するような $a$ の範囲は

$$\begin{cases} a\leq n+k+1 &(k\in2\mathbb{Z} )\\ a\leq n+k &(k\notin2\mathbb{Z}) \end{cases}$$

である。

Knowledge

多変数版テイラーの定理

$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ を $C^\infty$ 級関数とする。このとき任意の自然数 $M$ について

$$f(x)=\sum_{|\alpha|\leq M}\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x^\alpha}(0)x^\alpha+\sum_{|\alpha|=M}h_\alpha(x)x^\alpha$$

$$\lim_{x\to0}h_\alpha(x)=0$$

を満たす関数の族 $(h_\alpha:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R})_\alpha$ が存在する。