東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目B 第7問

Author

藍色日和

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実射影空間 の部分空間

について以下の問いに解答しなさい。

(1) 整係数ホモロジー群 を計算しなさい。

(2) 連続写像 であって、定値写像とホモトピピックでないものを一つ構成しなさい。

Kai

以下の解答に於いて位相空間 に対し と表記したときは、 と が同相であることを表す。

(1)

まず

と置くと、このとき であり、

である。このときマイヤービートリス完全列は

である。これにより に対し

がわかる。ここで の胞体分割 で、 になるようなものを取ったとき、 の生成元は で生成されることが分かる。 これにより上記のマイヤービートリス完全列の 次における群準同型 は適切な基底を取ることで

と表されることが分かる。よって が分かる。以上をまとめると

である。

(2)

写像 を

を取ったとき、(1) の途中で行った胞体分割を用いた議論により、 が定値写像とホモトピックでないことが分かる。よって も定値写像とホモトピックではない。