東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目B 第7問

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Author

藍色日和, 祭音Myyura

Description

実射影空間 $\mathbb{R}P^5$ の部分空間

$$X=\{[x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2]\in\mathbb{R}P^5|x_1y_1=x_1y_2=x_2y_1=x_2y_2=0\}$$

について以下の問いに解答しなさい。

(1) 整係数ホモロジー群 $H_\ast(X;\mathbb{Z})$ を計算しなさい。

(2) 連続写像 $S^1\to X$ であって、定値写像とホモトピックでないものを一つ構成しなさい。

题目描述

考虑实射影空间 $\mathbb{R}P^5$ 的子空间

$$X=\left\{[x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2]\in\mathbb{R}P^5 \mathrel{\middle|} x_1y_1=x_1y_2=x_2y_1=x_2y_2=0\right\}.$$

回答下列问题：

1. 计算 $X$ 的全体整系数同调群 $H_\ast(X;\mathbb{Z})$。
2. 构造一个连续映射 $S^1\to X$，使它不与常值映射同伦。

Kai

以下の解答に於いて位相空間 $X,Y$ に対し $X\simeq Y$ と表記したときは、$X$ と $Y$ が同相であることを表す。

(1)

まず

$$X_x=\{[0,0,y_1,y_2,z_1,z_2]\}\simeq \mathbb{R}P^3$$

$$X_y=\{[x_1,x_2,0,0,z_1,z_2]\}\simeq\mathbb{R}P^3$$

と置くと、このとき $X=X_x\cup X_y$ であり、

$$X_x\cap X_y\simeq\mathbb{R}P^1\simeq S^1$$

である。共通の $1$ 次元骨格 $\mathbb RP^1$ に各々 $2$ 胞体と $3$ 胞体を付け加える CW 分割を取れば、$X_x,X_y$ は部分複体となる。従ってマイヤービートリス完全列を適用でき、

$$\begin{array}{cccccc} \cdots&\to&0&\to&H_4(X,\mathbb{Z})&\to\\ 0&\to&\mathbb{Z}^2&\to &H_3(X,\mathbb{Z})&\to\\ 0&\to&0&\to &H_2(X,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}&\to&\left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^2&\to &H_1(X,\mathbb{Z})&\to \\ \mathbb{Z}&\to&\mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}&\to0\\ \end{array}$$

である。完全列の $2$ 次以上の部分から

$$H_2(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$$

$$H_3(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}^2$$

$$H_n(X,\mathbb{Z})=0\quad(n\geq4)$$

がわかる。ここで $\mathbb{R}P^3$ の胞体分割 $\mathbb{R}P^3=e_0\cup e_1\cup e_2\cup e_3$ で、$\bigcup_{i=0}^ke_i=\mathbb{R}P^k$ になるようなものを取ったとき、$H_1(\mathbb{R}P^3,\mathbb{Z})$ の生成元は $e_1$ で生成されることが分かる。 これにより上記のマイヤービートリス完全列の $1$ 次における群準同型 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は適切な基底を取ることで

$$m\mapsto \begin{pmatrix} m\\ m \end{pmatrix}$$

と表されることが分かる。よって $H_1(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が分かる。以上をまとめると

$$H_\ast(X,\mathbb{Z})=\begin{cases} \mathbb{Z}&(\ast=0,2)\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&(\ast=1)\\ \mathbb{Z}^2&(\ast=3)\\ 0&(\ast\geq4) \end{cases}$$

である。

(2)

写像 $f:S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to X$ を

$$f(t):=[0,0,0,0,\cos\pi t,\sin\pi t]$$

と定める。$t$ を $t+1$ に替えると斉次座標全体が $-1$ 倍されるため、これは良定義である。包含写像 $X\hookrightarrow\mathbb RP^5$ と合成したループは $\pi_1(\mathbb RP^5)\simeq\mathbb Z/2\mathbb Z$ の生成元なので零ホモトピックでない。従って $f:S^1\to X$ も定値写像とホモトピックではない。