東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目B 第6問

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• Tokyo-University
• Rigidity-of-Intrinsic-Path-Metric-Isometries

Author

藍色日和, 祭音Myyura

Description

$\mathbb{R}^n$ の連結開集合 $U$ 及び $p,q\in U$ に対して、$d_U(p,q)$ を $p$ と $q$ を結ぶ $U$ 内の区分的に滑らかな曲線の長さの下限とする。連結開集合 $U_0,U_1\subseteq \mathbb{R}^n$ 及び全単射 $f:U_0\to U_1$ で、任意の $p,q\in U_0$ に対して

$$d_{U_0}(p,q)=d_{U_1}(f(p),f(q))$$

を満たすものが取れたとする。このとき $\mathbb{R}^2$ の等長変換 $A$ が唯一つ存在して、任意の $p\in U_0$ に対して

$$f(p)=A(p)$$

を満たしていることを示しなさい。

题目描述

对 $\mathbb{R}^n$ 的任意连通开集 $U$ 以及任意两点 $p,q\in U$，定义 $d_U(p,q)$ 为所有位于 $U$ 内、连接 $p$ 与 $q$ 的分段光滑曲线的长度下确界。

设 $U_0,U_1\subseteq\mathbb{R}^n$ 是连通开集，且双射 $f:U_0\to U_1$ 对任意 $p,q\in U_0$ 都满足

$$d_{U_0}(p,q)=d_{U_1}(f(p),f(q)).$$

证明：存在唯一一个 $\mathbb{R}^2$ 的等距变换 $A$，使得对每个 $p\in U_0$ 均有 $f(p)=A(p)$。

Kai

まず $U_0$ の開部分凸集合 $V_0$ をとる。このとき任意の $x,y\in V_0$ について

$$d(f(x),f(y))\leq d_{U_1}(f(x),f(y))=d_{U_0}(x,y)=d(x,y)$$

である（最後の等式に $V_0$ の凸性を用いた）から、通常の距離位相に関して $f:V_0\to U_1$ は連続である。各点の周りにこのような $V_0$ を取れるので、$f:U_0\to U_1$ は連続である。 ここで任意の $p\in U_0$ に対して、$f(p)$ の凸開近傍 $V_1$ をとり、$f^{-1}(V_1)$ に於ける $p$ の凸開近傍 $V_0$ をとると、これは任意の $x,y\in V_0$ について

$$d(x,y)=d_{U_0}(x,y)=d_{U_1}(f(x),f(y))=d(f(x),f(y))$$

であるから、$f|_{V_0}$ は通常のユークリッド距離に関する等長写像である。開集合上の等長写像は、$V_0$ 内のアフィン独立な $n+1$ 点の像によって一意に定まる $\mathbb R^n$ の等長変換 $A_p$ に延長され、

$$f(x)=A_p(x)$$

を全ての $x\in V_0$ について満たす。

最後にこの $A_p$ が $p$ に依らないことを示す。 $p,q\in U_0$ を任意に取る。 まず $U_0$ は連結開集合なので弧状連結開集合であり、$\gamma(0)=p$ かつ $\gamma(1)=q$ なる道 $\gamma:[0,1]\to U_0$ をとることができる。 ここで $\gamma[0,1]$ 上の各点に於いて充分小さい凸開近傍をとる。$[0,1]$ のコンパクト性から、$p$ から $q$ まで隣り合う近傍が交わる有限列を取れる。二つの等長変換は、その共通部分でともに $f$ と一致するため等しい。従ってこの有限列に沿って $A_p=A_q$ が従う。

以上から $A_p$ を $A$ とすればよい。また二つの等長変換が $U_0$ 上で一致すれば、非空開集合上で一致するので同一である。従って $A$ は唯一である。