東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目B 第4問

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藍色日和

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体 $K$ を

$$K=\mathbb{Q}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}},\sqrt{3+\sqrt{3}}\right)$$

とする。次の問いに解答しなさい。

(1) $K/\mathbb{Q}$ はガロア拡大であることを示し、拡大次数 $[K:\mathbb{Q}]$ を計算しなさい。

(2) $K/\mathbb{Q}$ の中間体で、$\mathbb{Q}$ 上 $4$ 次であるものを全て挙げなさい。但し列挙するに当たっては $K$ の元 $\alpha$ を用いて $\mathbb{Q}(\alpha)$ の形で書くこと。

(3) $K/\mathbb{Q}$ の中間体 $M_1,M_2$ で、いずれも $\mathbb{Q}$ 上 $8$ 次の非可換ガロア拡大であり、かつ $\mathrm{Gal}(M_1/\mathbb{Q})$ と $\mathrm{Gal}(M_2/\mathbb{Q})$ が群同型でないようなものの例を挙げなさい。

Kai

以下の答案では、基礎体を明言せずに「ガロア拡大」「ガロアである」などいった場合、全て $\mathbb{Q}$ 上ガロアであることを指すものとする。

(1)

まず $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\in K$ であるから

$$\sqrt{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\in K$$

$$\sqrt{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3+\sqrt{3}}}\in K$$

が従う。よって $K$ は $\mathbb{Q}$ 係数多項式

$$((X^2-2)^2-2)((X^2-3)^2-3)$$

の最小分解体なので、ガロアである。次に $S=\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$ 及び $T=\mathbb{Q}(\sqrt{3+\sqrt{3}})$ とおく。 まず $S$ は $\mathbb{Q}$ 上 $4$ 次巡回拡大でその非自明は中間体は $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ であるのに対し、$T$ はガロアでない。 実際 $T$ がガロアだとすると、$\sqrt{3-\sqrt{3}},\sqrt{6}\in T$ になるが、このとき $\mathrm{Gal}(T/\mathbb{Q}(\sqrt{3}))$ の $T$ への作用が $\sqrt{6}$ ないし $\sqrt{3-\sqrt{3}}$ を固定し矛盾する。 またこの議論から $\sqrt{2}\notin T$ もわかる。以上から $S\cap T=\mathbb{Q}$ が従う。よって

$$[K:\mathbb{Q}]=[S:\mathbb{Q}][T:\mathbb{Q}]=16$$

である。

(2)

$G=\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ は

$$\sigma_{a,b,c,d}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)=(-1)^a\sqrt{2+(-1)^b\sqrt{2}}$$

$$\sigma_{a,b,c,d}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)=(-1)^{a+b}\sqrt{2-(-1)^b\sqrt{2}}$$

$$\sigma_{a,b,c,d}\left(\sqrt{3+\sqrt{3}}\right)=(-1)^c\sqrt{3+(-1)^d\sqrt{3}}$$

$$\sigma_{a,b,c,d}\left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)=(-1)^{b+c+d}\sqrt{3-(-1)^d\sqrt{3}}$$

で定義される $\sigma_{a,b,c,d}$ 全体の集合で書ける。$G=\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ の部分群

$$H=\{\sigma_{a,b,0,0}\}\simeq\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$

$$N=\{\sigma_{0,0,c,d}\}\simeq\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$

をとる。 まず $H\cap N=\{\mathrm{id}_K\}$ である。 また $N$ はガロア拡大 $S$ の固定部分群なので、$N\triangleleft G$ である。 また $|N||H|=|G|$ であることと $K/\mathbb{Q}$ がガロアでない中間体を持つことを考慮すれば、$G$ は非自明な半直積

$$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\rtimes \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$

である。$N$ の生成元を $x$、$H$ の生成元を $y$ を適切にとると、$G$ は表示

$$G=\langle x,y|x^4=y^4=1, yxy^{-1}=x^{-1}\rangle$$

を持つ。この元の位数は全て $4$ の約数であり、位数 $2$ の元は $x^2,y^2,x^2y^2$ である。以上から位数 $4$ の部分群の個数は

$$1+\frac{12}{2}=7$$

である。よって列挙に当たっては、互いに一致しない $K/\mathbb{Q}$ の $4$ 次拡大を $7$ 個あげれば良い。ここで

$$K_1=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})={\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$$

$$K_2={\mathbb{Q}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}$$

$$K_3={\mathbb{Q}\left(\sqrt{3+\sqrt{3}}\right)}$$

$$K_4={\mathbb{Q}\left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)}$$

$$K_5={\mathbb{Q}\left(\sqrt{3+\sqrt{3}}+\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)}$$

$$K_6={\mathbb{Q}\left(\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)}$$

$$K_7={\mathbb{Q}\left(\sqrt{12+6\sqrt{2}}\right)}$$

とおく。これらは全て $\mathbb{Q}$ 上 $4$ 次拡大である。まず次のことがわかる。

• (a) $K_2,K_7$ は $\mathbb{Q}$ 上巡回拡大
• (b) $K_1$ は $\mathbb{Q}$ 上非巡回アーベル拡大
• (c) $K_3$ は $\sigma_{0,1,0,0}$ で固定される一方、$K_4$ は固定されない。特に $K_3\neq K_4$。またここから相異なる $i,j\in \{3,4,5,6\}$ に対して $K_i\neq K_j$ が従う。
• (d) $K_3$ から $K_4$ へ、$K_5$ から $K_6$ への同型が存在する。特に $K_3,K_4,K_5,K_6$ はガロアではない。
• (e) $K_2$ は $\sigma_{0,0,0,1}$ で固定される一方、$K_7$ は固定されない。特に $K_2\neq K_7$。

以上から $K_i$ たちは互いに一致しないことがわかる。よって $K/\mathbb{Q}$ の $4$ 次部分拡大は以上の $K_1,\cdots,K_7$ で尽くされている。

(3)

(2) で挙げた群 $G$ の位数 $2$ の部分群 $\langle x^2\rangle$ 及び $\langle y^2\rangle$ 及び $\langle x^2y^2 \rangle$ はいずれも正規部分群であり、よってこれらの部分群による剰余群が考えられる。 これらの剰余群は $G$ の表示に $x^2=1$ または $y^2=1$ または $x^2y^2=1$ を条件に課して得られる群であり、これらをそれぞれ $G_3,G_1,G_2$ とする。このとき

$$G_3=\langle x,y|x^2=y^4=1, yx=xy\rangle$$

$$G_1=\langle x,y|x^4=y^2=1, yxy=x^{-1}\rangle$$

$$G_2=\langle x,y|x^4=y^4=1,yxy^{-1}=x^{-1},x^2=y^2\rangle$$

である。ここで $G_3$ はアーベル群、$G_1$ は二面体群 $D_8$ である。一方四元数群

$$Q_8=\langle i,j,k|i^2=j^2=k^2=ijk\rangle$$

を取ったとき、

$$\begin{aligned} Q_8&\to G_2\\ i&\mapsto y\\ j&\mapsto x\\ k&\mapsto yx \end{aligned}$$

は位数の同じ群の間の全射準同型を定めているから同型であり、よって $G_3$ は四元数群 $Q_8$ に等しい。 以上から $M_1=K^{\langle y^2\rangle}$ 及び $M_2=K^{\langle x^2y^2\rangle}$ とすれば、これが所望の条件を満たしている。 このとき $M_1$ 及び $M_2$ を求めるには、それぞれ $\langle y^2\rangle$ 及び $\langle x^2y^2\rangle$ で不変な $8$ 次拡大を取れば良いから

$$M_1={\mathbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3+\sqrt{3}}\right)}$$

$$M_2={\mathbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{3})}\right)}$$

になることがわかる。