東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目B 第2問

Author

藍色日和

Description

可換環

を取る。

(1) を体の直積として表しなさい。

(2) を自然な射影とする。そして 上 で生成される の部分代数を とおき、 とおく。 の像は に含まれていることを示し、 加群としての剰余 を巡回群の積として表しなさい。

(3) 単数群 を巡回群の積として表しなさい。

Kai

(1)

(2)

まず のの像は である。 よって である。 ここで に対して

を満たす一方、 かつ を満たす整数 を任意に取ったとき、

と置けば、これは かつ を満たす。以上から の に於ける像は

である。いま自然な同一視 を考え、同型

を取ったとき、この同型による の像は

に移される。よって

が従う。

(3)

は環の単射であるから、 は の単数群、つまり に含まれる。 (2)で求めた の像の元のみたす条件から、 の像としてあり得るのは のみである。 これらは実際 の像になっている。よって

であるから、