東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目B 第2問

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Author

藍色日和

Description

可換環

$$A=\mathbb{Z}[x]/(x^3+4x)$$

$$B=\mathbb{R}[x]/(x^3+4x)$$

を取る。

(1) $B$を体の直積$\prod_{i}K_i$として表しなさい。

(2) $p_i:B\twoheadrightarrow K_i$ を自然な射影とする。そして $\mathbb{Z}$上$p_i(\frac{x}{2})$ で生成される $K_i$ の部分代数を $C_i$ とおき、$C=\prod_iC_i$ とおく。$A\subseteq B\simeq \prod_iK_i$ の像は $C$ に含まれていることを示し、$\mathbb{Z}$ 加群としての剰余 $C/A$ を巡回群の積として表しなさい。

(3) 単数群 $A^\times$ を巡回群の積として表しなさい。

Kai

(1)

$$B=\mathbb{R}[x]/(x(x^2+4))=\mathbb{R}[x]/x\times\mathbb{R}[x]/(x^2+4)={\mathbb{R} \times \mathbb{C}}$$

(2)

まず $\frac{x}{2}$の$\mathbb{R}\times\mathbb{C}$の像は$(0,i)$ である。 よって $C=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[i]$ である。 ここで $f\in\mathbb{Z}[x]$ に対して

$$f(0)-\mathrm{Re}f(2i)\in4\mathbb{Z}$$

$$\mathrm{Im}f(2i)\in2\mathbb{Z}$$

を満たす一方、$a-b\in4\mathbb{Z}$ かつ $c\in4\mathbb{Z}$ を満たす整数 $a,b,c$ を任意に取ったとき、

$$f(x)=a+\frac{c}{2}x-\frac{b-a}{4}x^2$$

と置けば、これは $f(0)=a$ かつ $f(2i)=b+ic$ を満たす。以上から $A$ の $C$ に於ける像は

$$\{(a,b+ic)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[i]|a-b\in4\mathbb{Z}, c\in2\mathbb{Z}\}$$

である。いま自然な同一視 $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[i]\simeq\mathbb{Z}^3$ を考え、同型

$$\begin{aligned} \mathbb{Z}^3&\to\mathbb{Z}^3\\ (a,b,c)&\mapsto(a,b-a,c) \end{aligned}$$

を取ったとき、この同型による $A$ の像は

$$\mathbb{Z}\times4\mathbb{Z}\times2\mathbb{Z}$$

に移される。よって

$$C/A\simeq\mathbb{Z}^3/(\mathbb{Z}\times4\mathbb{Z}\times2\mathbb{Z})\simeq{\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$$

が従う。

(3)

$A\subseteq B\to\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[i]$ は環の単射であるから、$A^\times$ は $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[i]$ の単数群、つまり $\{\pm1\}\times\{\pm1,\pm i\}$ に含まれる。 (2)で求めた $A$ の像の元のみたす条件から、$A^\times$ の像としてあり得るのは $(1,1),(-1,-1)$ のみである。 これらは実際 $1,-1\in A$ の像になっている。よって

$$A^\times=\{\pm1\}$$

であるから、$A^\times\simeq{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$