東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目B 第1問

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• Burnside-Lemma-and-Derangement-Proportion

Author

藍色日和

Description

$G$ を有限群、$X$ を濃度 $2$ 以上の有限集合とし、推移的な作用 $G\times X\to X$ があるとする。そして

$$n_g=\left|\left\{x\in X\middle|gx=x\right\}\right|$$

とおく。以下の問いに解答しなさい。

(1) 等式

$$|G|=\sum_{g\in G}n_g$$

が成り立つことを示しなさい。

(2) $G$ の部分集合

$$G_0=\{g\in G|n_g=0\}$$

を取ったとき、不等式

$$\frac{|G_0|}{|G|}\geq\frac{1}{|X|}$$

が成り立つことを示しなさい。

(3) 上の不等式の等号を成立するような作用 $G\times X\to X$ で、$|X|=4$ であるようなものを一つ挙げなさい。

题目描述

设 $G$ 为有限群，$X$ 为基数至少为 $2$ 的有限集合，并设 $G$ 在 $X$ 上有一个传递作用 $G\times X\to X$。对每个 $g\in G$，定义

$$n_g=\left|\left\{x\in X\middle|gx=x\right\}\right|,$$

即 $g$ 在 $X$ 中的不动点个数。回答下列问题。

(1) 证明

$$|G|=\sum_{g\in G}n_g.$$

(2) 定义 $G$ 的子集

$$G_0=\{g\in G\mid n_g=0\}.$$

证明

$$\frac{|G_0|}{|G|}\geq\frac{1}{|X|}.$$

(3) 举出一个作用 $G\times X\to X$，使得 $|X|=4$，并且上面的不等式取等号。

考点

• 伯恩赛德引理与无不动点元素的比例：本题通过传递作用的轨道数和各群元素的不动点数来估计 $G_0$ 在 $G$ 中所占的比例，并要求给出达到下界的作用。

Kai

(1)

バーンサイドの補題から

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}n_g$$

である。但し $X/G$ はこの作用の軌道全体の集合である。作用は推移的であったから $|X/G|=1$ である。よって結果が従う。

(2)

まず

$$n_i=|\{g\in G|n_g=i\}|$$

とおく。このとき

$$\sum_{i=1}^{|X|}n_i=|G|$$

である。一方 (1) に於いて

$$\sum_{i=0}^{|X|}in_i=|G|$$

を示していた。これによって

$$n_0=n_2+2n_3+\cdots+(|X|-1)n_{|X|}$$

が得られる。また $G\times(X\times X)\to (X\times X)$ に再びバーンサイドの定理を適用して

$$\sum_{i=0}^{|X|}i^2n_i=\left|(X\times X)/G\right|\cdot|G|$$

であるから、

$$\sum_{i=0}^{|X|}(i-1)^2n_i=\left(\left|(X\times X)/G\right|-1\right)|G|$$

が得られる。ここまで得られた式から

$$\begin{aligned} |X|n_0&=n_0+\left(|X|-1\right)(n_2+2n_3+\cdots+(|X|-1)n_{|X|})\\ &\geq\sum_{i=0}^{|X|}(i-1)^2n_i\\ &=\left(\left|(X\times X)/G\right|-1\right)|G| \end{aligned}$$

が従う。ここで作用 $G\times(X\times X)\to (X\times X)$ の軌道は $2$ つ以上あることを考慮すれば、所望の結果

$$|X|n_0\geq |G|$$

を得られる。

(3)

$X=\{1,2,3,4\}$ とする。そして $G$ を $4$ 交代群 $A_4$ とする。このとき自然な作用 $A_4\times X\to X$ に対して、$n_g=0$ になる $\sigma\in A_4$ は

$$\sigma=(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)$$

の $\frac{|A_4|}{|X|}=3$ 個のみである。よってこれは所望の例になっている。