東京大学数理科学研究科数理科学専攻 2024年8月実施専門科目A 第5問

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位相空間とその間の写像が次の条件

を満たすとする。次の問いに答えなさい。

(1) が共に距離空間ならばは連続であることを示しなさい。 (2) 条件(i) (ii)を満たすで、が距離空間であり、が連続でない例を挙げなさい。 (3) 条件(i) (ii)を満たすで、が距離空間であり、が連続でない例を挙げなさい。

をに収束する点列とする。ここでのある部分列がにする部分列を持たないとし、これをとおく。ここでは距離空間の点列コンパクト集合、特にコンパクト集合なので、(ii) よりは距離空間のコンパクト集合、特に点列コンパクト集合である。よっては収束部分列を持ち、この収束値をとおく。このとき

であるが、(i) より右辺はであり矛盾が従う。よっては任意の部分列がに収束する部分列を持つから、

が従い、の連続性が示せた。

集合としてはとし、に密着位相、に離散位相を入れる。を恒等射としたとき、これは条件 (i) (ii) を満たす一方、連続ではない。

集合としてはとし、には通常の位相を、にはを開集合とする位相を入れる。を恒等射としたとき、は条件(i)(ii)を満たす一方、はの開集合ではないから不連続である。