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東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目A 第5問

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藍色日和, 祭音Myyura

Description​

位相空間 X,YX,Y とその間の写像 f:X→Yf:X\to Y が次の条件

  • (R1) ff は単射である。
  • (R2) 任意のコンパクト部分集合 KK に対して f(K)f(K) もコンパクトである。

を満たすとする。次の問いに答えなさい。

(1) 条件 (R1)、(R2) を満たすが連続でない写像 f:X→Yf:X\to Y の例を挙げなさい。

(2) X,YX,Y が共に距離空間ならば ff は連続であることを示しなさい。

题目描述​

设 X,YX,Y 为拓扑空间，映射 f:X→Yf:X\to Y 满足：ff 是单射，且对任意紧致子集 K⊆XK\subseteq X，f(K)f(K) 也是紧致集。

(1) 举出满足这两个条件但不连续的映射。

(2) 若 X,YX,Y 都是度量空间，证明 ff 连续。

Kai​

(1)​

次のいずれも例となる。

例1​

集合としては X=Y={1,2}X=Y=\{1,2\} とし、XX に密着位相、YY に離散位相を入れる。f:X→Yf:X\to Y を恒等射とする。有限集合の部分集合はコンパクトなので (R2) を満たすが、f−1({1})={1}f^{-1}(\{1\})=\{1\} は XX で開でないため連続ではない。

例2​

集合としては X=Y=RX=Y=\mathbb{R} とし、XX には通常の位相を、YY には Y,{0},∅Y,\{0\},\varnothing を開集合とする位相を入れる。f:X→Yf:X\to Y を恒等射とする。YY の任意の部分集合はコンパクトなので (R2) を満たす一方、f−1({0})={0}f^{-1}(\{0\})=\{0\} は XX の開集合ではないから不連続である。

(2)​

xn→xx_n\to x とする。f(xn)↛f(x)f(x_n)\not\to f(x) なら、ある ε>0\varepsilon>0 と部分列 xk(n)x_{k(n)} が存在して

dY(f(xk(n)),f(x))≥εd_Y(f(x_{k(n)}),f(x))\geq\varepsilon

となる。KN={x}∪{xk(n)∣n≥N}K_N=\{x\}\cup\{x_{k(n)}\mid n\geq N\} はコンパクトなので、f(KN)f(K_N) もコンパクト、従って YY で閉じている。f(K1)f(K_1) の点列コンパクト性から f(xk(n))f(x_{k(n)}) のある部分列は y∈f(K1)y\in f(K_1) に収束し、その各末尾は f(KN)f(K_N) に含まれるから

y∈⋂N=1∞f(KN)=f(⋂N=1∞KN)={f(x)}.y\in\bigcap_{N=1}^\infty f(K_N) =f\left(\bigcap_{N=1}^\infty K_N\right) =\{f(x)\}.

ここで二つ目の等号には単射性を用いた。これは上の不等式に矛盾する。従って f(xn)→f(x)f(x_n)\to f(x) であり、距離空間では点列連続性と連続性が同値なので ff は連続である。

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