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東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目A 第5問

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Author​

藍色日和

Description​

位相空間 X,YX,Y とその間の写像 f:X→Yf:X\to Y が次の条件

  • (R1) ff は単射である。
  • (R2) 任意のコンパクト部分集合 KK に対して f(K)f(K) もコンパクトである。

を満たすとする。次の問いに答えなさい。

(1) X,YX,Y が共に距離空間ならば ff は連続であることを示しなさい。 (2) 条件(i) (ii)を満たす f:X→Yf:X\to Y で、YY が距離空間であり、ff が連続でない例を挙げなさい。 (3) 条件(i) (ii)を満たす f:X→Yf:X\to Y で、XX が距離空間であり、ff が連続でない例を挙げなさい。

Kai​

(1)​

{xn}n=0∞\{x_n\}_{n=0}^\infty を x∈Xx\in X に収束する点列とする。 ここで {f(xn)}n=0∞\{f(x_n)\}_{n=0}^\infty のある部分列が f(x)f(x) にする部分列を持たないとし、これを {f(xk(n))}\{f(x_{k(n)})\} とおく。 ここで {xn}n=0∞∪{x}\{x_n\}_{n=0}^\infty\cup\{x\} は距離空間の点列コンパクト集合、特にコンパクト集合なので、(ii) より {f(xn)}n=0∞∪{f(x)}\{f(x_n)\}_{n=0}^\infty\cup\{f(x)\} は距離空間のコンパクト集合、特に点列コンパクト集合である。 よって {f(xk(n))}\{f(x_{k(n)})\} は収束部分列を持ち、この収束値を f(xk(∞))f(x_{k(\infty)}) とおく。このとき

f(x)≠f(xk(∞))∈⋂N∈N({fn}n=N∞∪{f(x)})f(x)\neq f(x_{k(\infty)})\in \bigcap_{N\in\mathbb{N}}\left(\{f_n\}_{n=N}^\infty\cup\{f(x)\}\right)

であるが、(i) より右辺は {f(x)}\{f(x)\} であり矛盾が従う。よって {f(xn)}n=0∞\{f(x_n)\}_{n=0}^\infty は任意の部分列が f(x)f(x) に収束する部分列を持つから、

lim⁡n→∞f(xn)=f(x)\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)

が従い、ff の連続性が示せた。

(2)​

集合としては X=Y={1,2}X=Y=\{1,2\} とし、XX に密着位相、YY に離散位相を入れる。f:X→Yf:X\to Y を恒等射としたとき、これは条件 (i) (ii) を満たす一方、連続ではない。

(3)​

集合としては X=Y=RX=Y=\mathbb{R} とし、XX には通常の位相を、YY には Y,{0},∅Y,\{0\},\varnothing を開集合とする位相を入れる。f:X→Yf:X\to Y を恒等射としたとき、ff は条件(i)(ii)を満たす一方、f−1({0})={0}f^{-1}(\{0\})=\{0\} は XX の開集合ではないから不連続である。

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