東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目A 第3問

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藍色日和

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(1) 関数 を

と定義する。関数列 は 上で一様収束するかどうか判定し、一様収束するならその収束関数 を求めなさい。

(2) 関数 を

で定義する。関数列 は 上で一様収束するかどうか判定し、一様収束するならその収束関数 を求めなさい。

Kai

(1)

一様収束し、その収束値は

であることを示す。まず は周期 の奇関数であることから、 に於ける一様収束性及び への収束を述べればよい。 このとき は任意の に対して非負実数からなる広義単調減少列であるから、極限 が存在し、これは

より である。ここで任意の に対して なる を取れば、任意の について

であるから、 の一様収束性及び への収束が言えた。

(2)

まず のとき

である。よって任意の 及び に対して

が成り立つ。 以外の場合にも同様の議論を行うことで、 は一様収束することがわかり、その極限は

である。