東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2024年8月実施 専門科目A 第3問

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• Uniform-Convergence-of-Iterated-Sine-and-LogSumExp

Author

藍色日和

Description

(1) 関数 $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を

$$f_1(x)=\sin(x)$$

$$f_n(x):=f_{n-1}(\sin(x))$$

と定義する。関数列 $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ は $\mathbb{R}$ 上で一様収束するかどうか判定し、一様収束するならその収束関数 $f(x)$ を求めなさい。

(2) 関数 $g_n:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ を

$$g_n(x)=\frac{\log(e^{nx}+e^{ny}+e^{nz})}{n}$$

で定義する。関数列 $\{g_n\}_{n=1}^\infty$ は $\mathbb{R}^3$ 上で一様収束するかどうか判定し、一様収束するならその収束関数 $g(x,y,z)$ を求めなさい。

题目描述

1. 定义函数 $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$：

   $$f_1(x)=\sin(x),$$

   并对 $n\geq 2$ 递归定义

   $$f_n(x):=f_{n-1}(\sin(x)).$$

   判断函数列 $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是否在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛；若一致收敛，求其极限函数 $f(x)$。

2. 定义函数 $g_n:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$：

   $$g_n(x,y,z)=\frac{\log(e^{nx}+e^{ny}+e^{nz})}{n}.$$

   判断函数列 $\{g_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是否在 $\mathbb{R}^3$ 上一致收敛；若一致收敛，求其极限函数 $g(x,y,z)$。

考点

• 迭代正弦函数的一致收敛：需要利用正弦迭代的单调性、对称性以及对全体 $x\in\mathbb{R}$ 都成立的统一上界，判断 $f_n$ 的一致极限。
• LogSumExp 的一致逼近：需要把 $\frac1n\log(e^{nx}+e^{ny}+e^{nz})$ 与 $\max\{x,y,z\}$ 比较，并给出与 $(x,y,z)$ 无关、随 $n$ 趋于零的误差界。

Kai

(1)

一様収束し、その収束値は

$$f(x)=0$$

であることを示す。まず $\sin(x)$は周期$\pi$ の奇関数であることから、$I=[0,\frac{\pi}{2}]$ に於ける一様収束性及び $0$ への収束を述べればよい。 このとき $f_n(x)$ は任意の $x\in I$ に対して非負実数からなる広義単調減少列であるから、極限 $y=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ が存在し、これは

$$\sin(y)=\sin\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)=\lim_{n\to\infty}\sin(f_n(x))=\lim_{n\to\infty}f_{n+1}(x)=y$$

より $y=0$ である。ここで任意の $\varepsilon$ に対して $f_n(\frac{\pi}{2})\leq \varepsilon$ なる $n$ を取れば、任意の $x\in I$ について

$$f_n(x)\leq f_n(\frac{\pi}{2}) < \varepsilon$$

であるから、$f_n$ の一様収束性及び $0$ への収束が言えた。

(2)

まず $x\leq y\leq z$ のとき

$$g_n(x)=\frac{e^{nx}+e^{ny}}{ne^{nz}}\log(1+\frac{e^{nx}+e^{ny}}{e^{nz}})^{\frac{e^{nz}}{e^{nx}+e^{ny}}}+z$$

である。よって任意の $n$ 及び $x\leq y\leq z$ に対して

$$\begin{split} \left|g_n(x,y,z)-z\right|&amp;\leq\frac{2}{n}\\ \end{split}$$

が成り立つ。$x\leq y\leq z$ 以外の場合にも同様の議論を行うことで、$g_n(x,y,z)$ は一様収束することがわかり、その極限は

$$g(x,y,z)=\max\{x,y,z\}$$

である。