東京大学数理科学研究科数理科学専攻 2024年8月実施専門科目A 第3問

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(1) 関数 $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を

f_1(x)=\sin(x)

f_n(x):=f_{n-1}(\sin(x))

と定義する。関数列 $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ は $\mathbb{R}$ 上で一様収束するかどうか判定し、一様収束するならその収束関数 $f(x)$ を求めなさい。

(2) 関数 $g_n:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ を

g_n(x,y,z)=\frac{\log(e^{nx}+e^{ny}+e^{nz})}{n}

で定義する。関数列 $\{g_n\}_{n=1}^\infty$ は $\mathbb{R}^3$ 上で一様収束するかどうか判定し、一様収束するならその収束関数 $g(x,y,z)$ を求めなさい。

定义函数 $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ：

$f_1(x)=\sin(x),$

并对 $n\geq 2$ 递归定义

$f_n(x):=f_{n-1}(\sin(x)).$

判断函数列 $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是否在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛；若一致收敛，求其极限函数 $f(x)$ 。
定义函数 $g_n:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ ：

$g_n(x,y,z)=\frac{\log(e^{nx}+e^{ny}+e^{nz})}{n}.$

判断函数列 $\{g_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是否在 $\mathbb{R}^3$ 上一致收敛；若一致收敛，求其极限函数 $g(x,y,z)$ 。

一様収束し、その収束値は

f(x)=0

であることを示す。各 $f_n$ は奇関数であり、 $|\sin x|\leq1$ かつ $\sin t$ は $0\leq t\leq1$ で単調増加なので

\sup_{x\in\mathbb R}|f_n(x)|=f_n\left(\frac{\pi}{2}\right).

従って $I=[0,\frac{\pi}{2}]$ に於ける $0$ への一様収束を示せばよい。このとき $f_n(x)$ は任意の $x\in I$ に対して非負実数からなる広義単調減少列であるから、極限 $y=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ が存在し、これは

\sin(y)=\sin\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)=\lim_{n\to\infty}\sin(f_n(x))=\lim_{n\to\infty}f_{n+1}(x)=y

より $y=0$ である。ここで任意の $\varepsilon>0$ に対して $f_n(\frac{\pi}{2})<\varepsilon$ なる $n$ を取れば、任意の $x\in I$ について

f_n(x)\leq f_n(\frac{\pi}{2}) < \varepsilon

であるから、 $f_n$ の一様収束性及び $0$ への収束が言えた。

$m=\max\{x,y,z\}$ とおくと

g_n(x,y,z)=m+\frac1n\log\left(e^{n(x-m)}+e^{n(y-m)}+e^{n(z-m)}\right).

括弧内は $1$ 以上 $3$ 以下なので、任意の $(x,y,z)\in\mathbb R^3$ に対して

0\leq g_n(x,y,z)-m\leq\frac{\log3}{n}.

従って $g_n(x,y,z)$ は一様収束し、その極限は

g(x,y,z)=\max\{x,y,z\}

である。