東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目B 第2問

Author

藍色日和

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剰余環

を考え、 で代表される の元を とおく。 のイデアル をとり、集合

を定める。

(1) が整域であることを示しなさい。また を の商体としたとき、その部分集合

は の体でない部分環であることを示しなさい。

(2) 代数の同型

を示しなさい。但し左辺は の 加群としての自己準同型全体の為す集合を表し、関数の合成を積とすることで 代数の構造を定めている。

(3) -代数の同型

が存在するような のイデアル の生成系を一つ挙げなさい。

Kai

(1)

まず前半については は既約多項式であるから、 は整域であることがわかる。 以下後半を示していく の元 (但し は二変数多項式、 は一変数多項式、 は 次以下の一変数多項式である)が を満たすとき、 であるから である必要がある。 ここで であったとすると、 になるが、 が 次以下の多項式であることから が従う。以上から

であることがわかる。よって集合として

であり、 であることを考慮すると を含んでいて和と積で閉じていることがわかる。 また は を含む一方 を含んでいないから体ではない。 以上から は の体でない部分環である。以上で後半が示せた。

(2)

まず で定義される写像 を を に、 を に送る写像とする。 ここで が整域であることと、 であること、そして であるから well-defined な写像

が定まる。定義よりこれは -代数の準同型になっているから、あとは全単射性を示せば良い。 まず が与えられたとする。 このとき であるから、 である。 以上から が従う。 このとき であるから、 は の元 を用いて と表せることがわかった。 よって の全射性が示せた。 次に であったとする。 このとき であるから の単射性がわかった。 以上から は 代数の同型であることがわかったから、 が所望の同型である。

(3)

いま

と定める。ここで は で生成される 代数であるから、 は 代数の全射準同型である。 この核を とする。まず である。 ここで が体でない整域であることと のクルル次元が であることから であることが従う。 以上から が所望の生成系である。