東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目B 第1問

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Author

藍色日和

Description

整数 $n\geq2$ に対し $n$ 次正方行列の集合 $M_n(\mathbb{R})$ を考え、その巾ゼロ行列全体の為す集合 $\mathcal{N}_n$ を考える。 ここで $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ の部分群 $G$ について、$\mathcal{N}_n$ に含まれる $G$-共役による共役類の個数を $c_n(G)$ とおく。

(1) $c_4(\mathrm{GL}_4(\mathbb{R}))$ の値を求めなさい。

(2) $n$ が奇数のとき $c_n(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}))=c_n(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}))$ であることを示しなさい。

(3) $c_4(\mathrm{SL}_4(\mathbb{R}))$ の値を求めなさい。

Kai

(1)

まずこれらの同値類はジョルダン標準形で代表される。 $n=4$ のとき巾ゼロ行列は

$$A=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

$$B=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

$$C=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

$$D=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

及び $0$ で代表されるものに限られるから求める値は $5$ である。

(2)

いま行列 $M,N$ が $g\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ を用いて $gMg^{-1}=N$ と表されたとする。 ここで $d=\det g$ と置いたとき、$n$ が奇数であることから実数 $c=\sqrt[n]{d}$ をとることができ、$h=c^{-1}g$ とすればこれは $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ の元であり、しかも $hMh^{-1}=N$ を満たす。 以上から結果が従う。

(3)

まず $B,C,0$ については対角行列で一成分だけが $d$、それ以外の対角成分が $1$ であるような行列で共役をとって不変であるから、これらを含む $\mathrm{GL}_4(\mathbb{R})$ による共役類は $\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$ による共役類になっている。 次に $gMg^{-1}=A$ であり、ここで $\det g=-d<0$ であったとする。 このときこの式の左辺から(1,1)成分が $d$,その他の対角成分が $1$ であるような行列をかけることで $M$ は行列

$$A'=\begin{pmatrix} 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$$

に共役になるから、$A$ の $\mathrm{GL}_4(\mathbb{R})$-共役類の元は $A,A'$ のいずれかに $\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$-共役である。 同様に $D$ の $\mathrm{GL}_4(\mathbb{R})$-共役類の元は $D$ または

$$D'=\begin{pmatrix} 0&-1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

のいずれかに $\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$-共役である。 また $A,A'$ (resp.$D,D'$) に関して $A'=gAg^{-1}$(resp. $D'=gDg^{-1}$)になるような $g$ について $\det g<0$ であることが直接計算することでわかる。 以上から共役類の個数は $1+1+1+2+2=7$ である。