東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目A 第6問

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藍色日和

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以下の定積分の値を計算しなさい

(1) $\int_0^{\infty}\frac{\log x}{x^2+1}dx$

(2) $\int_0^{\infty}\frac{\log x}{x^2-1}dx$

Kai

(1)

積分

$$\int_0^1\frac{\log x}{x^2+1}dx$$

を $x\mapsto \frac{1}{t}$ で置換積分すると

$$-\int_1^\infty \frac{\log t}{t^2+1}dt$$

になるからこれによって

$$\int_0^\infty\frac{\log x}{1+x^2}dx=0$$

が従う。

(2)

経路 $C$ を、$i\varepsilon$ から $\varepsilon$ まで時計回りに進む $C_0$・$\varepsilon$ から $R$ まで実軸上を進む $C_1$・$R$ から $iR$ まで反時計回りに進む $C_2$・$iR$ から $i\varepsilon$ まで虚軸上を進む $C_4$ からなる経路とする。 $\frac{\log x}{x^2-1}$ は分枝を適切に取ることで $C$ 上及びその内部の領域で定義され、この領域上極を持たない。よって

$$\int_C\frac{\log x}{x^2-1}=0$$

である。次に

$$\begin{aligned} \left|\int_{C_1}\frac{\log x}{x^2-1}dx\right|&\leq\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left|\frac{\log\varepsilon+i\theta}{\varepsilon^2e^{i2\theta}-1}\varepsilon\right|d\theta\\ &\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left|\frac{\sqrt{\log^2\varepsilon+\theta^2}}{1-\varepsilon^2}\varepsilon\right|d\theta\\ &\leq\frac{\pi}{2(1-\varepsilon^2)}\varepsilon\sqrt{3+\log^2\varepsilon}&\xrightarrow{\varepsilon\to+0}0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left|\int_{C_3}\frac{\log x}{x^2-1}dx\right|&\leq\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left|\frac{\log R+i\theta}{R^2e^{i2\theta}-1}R\right|d\theta&\xrightarrow{R\to\infty}0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{C_4}\frac{\log x}{x^2-1}dx&=\int_R^\varepsilon\frac{\frac{i\pi}{2}+\log x}{-x^2-1}idx&\xrightarrow{\varepsilon\to+0,R\to\infty}\frac{\pi}{2}\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}dx=-\frac{\pi^2}{4} \end{aligned}$$

である。以上から所望の積分値は $0-(-\frac{\pi^2}{4})=\frac{\pi^2}{4}$ である。