東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目A 第6問

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Author

藍色日和, 祭音Myyura

Description

以下の定積分の値を計算しなさい

(1) $\int_0^{\infty}\frac{\log x}{x^2+1}dx$

(2) $\int_0^{\infty}\frac{\log x}{x^2-1}dx$

题目描述

计算下列定积分：

1. $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\log x}{x^2+1}\,dx$；
2. $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\log x}{x^2-1}\,dx$。

Kai

(1)

両問の被積分関数は $0$ 近傍で $O(|\log x|)$、無限遠で $O(\log x/x^2)$ である。(2)の $x=1$ での極限は $1/2$ なので、いずれも絶対収束する。

積分

$$\int_0^1\frac{\log x}{x^2+1}dx$$

を $x\mapsto \frac{1}{t}$ で置換積分すると

$$-\int_1^\infty \frac{\log t}{t^2+1}dt$$

になるからこれによって

$$\int_0^\infty\frac{\log x}{1+x^2}dx=0$$

が従う。

(2)

経路 $C$ を、$i\varepsilon$ から $\varepsilon$ まで時計回りに進む $C_0$・$\varepsilon$ から $R$ まで実軸上を進む $C_1$・$R$ から $iR$ まで反時計回りに進む $C_2$・$iR$ から $i\varepsilon$ まで虚軸上を進む $C_4$ からなる経路とする。 $\frac{\log z}{z^2-1}$ は主値の分枝 $-\pi<\arg z<\pi$ を取り、$z=1$ の可除特異点を補うことで $C$ 上及びその内部の領域で正則になる。よって

$$\int_C\frac{\log z}{z^2-1}\,dz=0$$

である。次に

$$\begin{aligned} \left|\int_{C_0}\frac{\log z}{z^2-1}dz\right|&\leq\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left|\frac{\log\varepsilon+i\theta}{\varepsilon^2e^{i2\theta}-1}\varepsilon\right|d\theta\\ &\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left|\frac{\sqrt{\log^2\varepsilon+\theta^2}}{1-\varepsilon^2}\varepsilon\right|d\theta\\ &\leq\frac{\pi}{2(1-\varepsilon^2)}\varepsilon\sqrt{3+\log^2\varepsilon}&\xrightarrow{\varepsilon\to+0}0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left|\int_{C_2}\frac{\log z}{z^2-1}dz\right|&\leq\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left|\frac{\log R+i\theta}{R^2e^{i2\theta}-1}R\right|d\theta&\xrightarrow{R\to\infty}0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{C_4}\frac{\log z}{z^2-1}dz &=\int_R^\varepsilon\frac{\frac{\pi}{2}-i\log x}{x^2+1}\,dx &\xrightarrow{\varepsilon\to+0,R\to\infty}-\frac{\pi^2}{4} \end{aligned}$$

である。最後の極限では虚部に (1) を用いた。以上から所望の積分値は $0-(-\frac{\pi^2}{4})=\frac{\pi^2}{4}$ である。