東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目A 第5問

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藍色日和

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まず集合

を考える。そして 及び実数 に対して

とする。いま によって生成される基本近傍系によって、 に位相を定める。

(1) はハウスドルフであることを示しなさい

(2) の に於ける閉包を図示しなさい。

(3) は連結であるかどうか判定しなさい。

Kai

以下の議論では は 座標が ・ 座標が の点を指し、 は なる有理数 全体の為す開区間を指す。 また を と略記する。 またこの略記は や などのような の部分集合にも適用する。

(1)

の相異なる点 をとる。このとき、 を十分小さく取れば

を満たしている。このとき であるから、 のハウスドルフ性が従う。

(2)

まず

とする。また

とおく。このとき は に含まれている。 また を取ったとき、

のいずれかが満たされているから、 の近傍は と共通部分を持つ。 以上から の閉包は を含んでいる。一方各 に対して

になるよう を取れば

は開集合であるから、 は閉集合である。以上から が所望の閉包である。※図は時間のある時に挿入します。

(3)

まず を の互いに交わらない開集合への分解とする。 を空でないとする。 を取ったとき、この位相の定め方から、 を満たすように をとれる。 このとき

である。このとき集合

は に於いて稠密である。よって は に於いて稠密である。これによって

が従い、ここから が従う。よって は連結である。