東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目A 第5問

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Author

藍色日和

Description

まず集合

$$X=\left\{(x,y)\in\mathbb{Q}^2\middle||x|<y\sqrt{2}\textsf{ または }y=0\right\}$$

を考える。そして $(x,y)\in X$ 及び実数 $\varepsilon>0$ に対して

$$U_\varepsilon(x,y)=\{(x,y)\}\cup\left\{(s,0)\in\mathbb{Q}^2\middle|\left|s-x+y\sqrt{2}\right|<\varepsilon\textsf{ または }\left|s-x-y\sqrt{2}\right|<\varepsilon\right\}$$

とする。いま $\{U_\varepsilon(x,y)|(x,y)\in X, \varepsilon > 0\}$ によって生成される基本近傍系によって、$X$ に位相を定める。

(1) $X$ はハウスドルフであることを示しなさい

(2) $U_1(0,1)$ の $X$ に於ける閉包を図示しなさい。

(3) $X$ は連結であるかどうか判定しなさい。

Kai

以下の議論では $(a,b)$ は $x$ 座標が $a$・$y$ 座標が $b$ の点を指し、$(a;b)$ は $a<x<b$ なる有理数 $x$ 全体の為す開区間を指す。 また $\mathbb{Q}\times\{0\}$ を $\mathbb{Q}$ と略記する。 またこの略記は $(a;b)$ や $[a;b]$ などのような $\mathbb{Q}$ の部分集合にも適用する。

(1)

$X$ の相異なる点 $(s,t),(u,r)$ をとる。このとき、$\varepsilon>0$ を十分小さく取れば

$$(s+t\sqrt{2}-\varepsilon;s+t\sqrt{2}+\varepsilon)\cap (u+r\sqrt{2}-\varepsilon;u+r\sqrt{2}+\varepsilon)=\varnothing$$

を満たしている。このとき $U_\varepsilon(s,t)\cap U_\varepsilon(u,r)=\varnothing$ であるから、$X$ のハウスドルフ性が従う。

(2)

まず

$$C_+=\left\{(x,y)\in X\middle| -\frac{x}{\sqrt{2}}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq-\frac{x}{\sqrt{2}}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$$

$$C_-=\left\{(x,y)\in X\middle| \frac{x}{\sqrt{2}}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq\frac{x}{\sqrt{2}}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$$

$$D_+=\left\{(x,y)\in X\middle| -\frac{x}{\sqrt{2}}-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq-\frac{x}{\sqrt{2}}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$$

$$D_-=\left\{(x,y)\in X\middle| \frac{x}{\sqrt{2}}-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq\frac{x}{\sqrt{2}}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$$

$$I_+=\left(-\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}+1\right)$$

$$I_-=\left(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}+1\right)$$

とする。また

$$C=C_+\cup C_-\cup D_+\cup D_-\cup I_+\cup I_-$$

とおく。このとき $I_+\cup I_-$ は $U_1(0,1)$ に含まれている。 また $(x,y)\in C_+\cup C_-\cup D_+\cup D_-$ を取ったとき、

$$\sqrt{2}-1\leq x+y\sqrt{2}\leq\sqrt{2}+1$$

$$-\sqrt{2}-1\leq x-y\sqrt{2}\leq-\sqrt{2}+1$$

$$\sqrt{2}-1\leq x-y\sqrt{2}\leq\sqrt{2}+1$$

$$-\sqrt{2}-1\leq x+y\sqrt{2}\leq-\sqrt{2}+1$$

のいずれかが満たされているから、$(x,y)$ の近傍は $U_1(0,1)$ と共通部分を持つ。 以上から $U_1(0,1)$ の閉包は $C$ を含んでいる。一方各 $(x,y)\in X\backslash C$ に対して

$$U_{\varepsilon{(x,y)}}(x,y)\cap C=\varnothing$$

になるよう $\varepsilon>0$ を取れば

$$X\backslash C=\bigcup_{(x,y)\notin C}U_{\varepsilon(x,y)}(x,y)$$

は開集合であるから、$C$ は閉集合である。以上から $C$ が所望の閉包である。※図は時間のある時に挿入します。

(3)

まず $X=U\sqcup V$ を $X$ の互いに交わらない開集合への分解とする。 $U$ を空でないとする。 $(a,b)\in U$ を取ったとき、この位相の定め方から、$(a+b\sqrt{2}-\varepsilon;a+b\sqrt{2}+\varepsilon)\times\{0\}\subseteq U$ を満たすように $\varepsilon>0$ をとれる。 このとき

$$W=\left\{(x,y)\in X\middle|-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{a-\varepsilon+b\sqrt{2}}{\sqrt{2}}<y<-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{a+\varepsilon+b\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right\}\subseteq U$$

である。このとき集合

$$\{(x-y\sqrt{2},0)|(x,y)\in W\textsf{ または }(-x,-y)\in W\}$$

は $\mathbb{R}$ に於いて稠密である。よって $U\cap\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ に於いて稠密である。これによって

$$V\cap\mathbb{Q}=\varnothing$$

が従い、ここから $V=\varnothing$ が従う。よって $X$ は連結である。