東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目A 第5問

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• Hausdorff-Closure-and-Connectedness-in-a-Custom-Topology

Author

藍色日和, 祭音Myyura

Description

まず集合

$$X=\left\{(x,y)\in\mathbb{Q}^2\middle||x|<y\sqrt{2}\textsf{ または }y=0\right\}$$

を考える。そして $(x,y)\in X$ 及び実数 $\varepsilon>0$ に対して

$$U_\varepsilon(x,y)=\{(x,y)\}\cup\left\{(s,0)\in\mathbb{Q}^2\middle|\left|s-x+y\sqrt{2}\right|<\varepsilon\textsf{ または }\left|s-x-y\sqrt{2}\right|<\varepsilon\right\}$$

とする。いま $\{U_\varepsilon(x,y)|(x,y)\in X, \varepsilon > 0\}$ によって生成される基本近傍系によって、$X$ に位相を定める。

(1) $X$ はハウスドルフであることを示しなさい

(2) $U_1(0,1)$ の $X$ に於ける閉包を図示しなさい。

(3) $X$ は連結であるかどうか判定しなさい。

题目描述

先考虑集合

$$X=\left\{(x,y)\in\mathbb{Q}^2\middle||x|<y\sqrt{2}\textsf{ 或 }y=0\right\}.$$

对任意 $(x,y)\in X$ 和实数 $\varepsilon>0$，定义

$$U_\varepsilon(x,y)=\{(x,y)\}\cup\left\{(s,0)\in\mathbb{Q}^2\middle|\left|s-x+y\sqrt{2}\right|<\varepsilon\textsf{ 或 }\left|s-x-y\sqrt{2}\right|<\varepsilon\right\}.$$

用集合族

$$\{U_\varepsilon(x,y)\mid (x,y)\in X,\ \varepsilon>0\}$$

所生成的基本邻域系在 $X$ 上定义一个拓扑。回答下列问题：

1. 证明 $X$ 是豪斯多夫空间。
2. 画出 $U_1(0,1)$ 在 $X$ 中的闭包。
3. 判断 $X$ 是否连通。

Kai

以下の議論では $(a,b)$ は $x$ 座標が $a$・$y$ 座標が $b$ の点を指し、$(a;b)$ は $a<x<b$ なる有理数 $x$ 全体の為す開区間を指す。 また $\mathbb{Q}\times\{0\}$ を $\mathbb{Q}$ と略記する。 またこの略記は $(a;b)$ や $[a;b]$ などのような $\mathbb{Q}$ の部分集合にも適用する。

(1)

$X$ の相異なる点 $(s,t),(u,r)$ をとる。このとき、$\varepsilon>0$ を十分小さく取れば

$$\bigcup_{\sigma=\pm1}(s+\sigma t\sqrt2-\varepsilon;s+\sigma t\sqrt2+\varepsilon) \quad\text{と}\quad \bigcup_{\sigma=\pm1}(u+\sigma r\sqrt2-\varepsilon;u+\sigma r\sqrt2+\varepsilon)$$

を互いに交わらなくできる。実際、両者の中心が一致すれば $s,u,t,r\in\mathbb Q$ と $\sqrt2\notin\mathbb Q$ より $(s,t)=(u,r)$ となる。このとき $U_\varepsilon(s,t)\cap U_\varepsilon(u,r)=\varnothing$ であるから、$X$ のハウスドルフ性が従う。

(2)

まず

$$C_+=\left\{(x,y)\in X\middle| -\frac{x}{\sqrt{2}}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq-\frac{x}{\sqrt{2}}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$$

$$C_-=\left\{(x,y)\in X\middle| \frac{x}{\sqrt{2}}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq\frac{x}{\sqrt{2}}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$$

$$D_+=\left\{(x,y)\in X\middle| -\frac{x}{\sqrt{2}}-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq-\frac{x}{\sqrt{2}}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$$

$$D_-=\left\{(x,y)\in X\middle| \frac{x}{\sqrt{2}}-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq y\leq\frac{x}{\sqrt{2}}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$$

$$I_+=\left(-\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}+1\right)$$

$$I_-=\left(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}+1\right)$$

とする。また

$$C=C_+\cup C_-\cup D_+\cup D_-\cup I_+\cup I_-$$

とおく。このとき $I_+\cup I_-$ は $U_1(0,1)$ に含まれている。 また $(x,y)\in C_+\cup C_-\cup D_+\cup D_-$ を取ったとき、

$$\sqrt{2}-1\leq x+y\sqrt{2}\leq\sqrt{2}+1$$

$$-\sqrt{2}-1\leq x-y\sqrt{2}\leq-\sqrt{2}+1$$

$$\sqrt{2}-1\leq x-y\sqrt{2}\leq\sqrt{2}+1$$

$$-\sqrt{2}-1\leq x+y\sqrt{2}\leq-\sqrt{2}+1$$

のいずれかが満たされているから、$(x,y)$ の近傍は $U_1(0,1)$ と共通部分を持つ。 以上から $U_1(0,1)$ の閉包は $C$ を含んでいる。一方各 $(x,y)\in X\backslash C$ に対して

$$U_{\varepsilon{(x,y)}}(x,y)\cap C=\varnothing$$

になるよう $\varepsilon>0$ を取れば

$$X\backslash C=\bigcup_{(x,y)\notin C}U_{\varepsilon(x,y)}(x,y)$$

は開集合であるから、$C$ は閉集合である。以上から $C$ が所望の閉包である。

$X$ 上では、同じ閉包を次のようにも書ける：

$$\overline{U_1(0,1)}=\left\{(x,y)\in X\;\middle|\; \sqrt2-1\le x+\sqrt2y\le\sqrt2+1 \quad\text{または}\quad -\sqrt2-1\le x-\sqrt2y\le-\sqrt2+1\right\}.$$

(3)

まず $X=U\sqcup V$ を $X$ の互いに交わらない開集合への分解とする。 $U$ を空でないとする。 この位相の定め方から、$U\cap\mathbb Q$ は空でない開区間を含む。その中に正の開区間 $I$ が含まれる場合を考える（負の開区間の場合も同様である）。

いま

$$W=\{(x,y)\in X\mid y>0,\ x+y\sqrt2\in I\}$$

とおく。もし $(x,y)\in W\cap V$ なら、その $V$ に含まれる近傍は $x+y\sqrt2$ の近くで $I\cap\mathbb Q\subset U$ と交わるので矛盾する。したがって $W\subset U$ である。

写像

$$(x,y)\longmapsto(x+y\sqrt2,x-y\sqrt2)$$

による $\mathbb Q^2$ の像は $\mathbb R^2$ で稠密であるから、$W$ の点の $x-y\sqrt2$ は $(-\infty,0)$ で稠密である。各点の近傍はこの値の近くの有理数を含むので、$U\cap\mathbb Q$ は $(-\infty,0)\cap\mathbb Q$ で稠密である。$U$ は閉集合でもあるから、

$$(-\infty,0)\cap\mathbb Q\subset U$$

となる。

任意の $(x,y)\in X$ で $y>0$ なら $x-y\sqrt2<0$ である。この点が $V$ に属すれば、その近傍は負の有理数を含み、上式に矛盾する。よってこのような点はすべて $U$ に属する。特に $(0,y)\in U$（$y\in\mathbb Q_{>0}$）であり、$y\sqrt2$ は $(0,\infty)$ で稠密なので、再び $U$ の閉性から $\mathbb Q\times\{0\}\subset U$ を得る。したがって $V=\varnothing$ であり、$X$ は連結である。