東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目A 第4問

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藍色日和

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実数 $\alpha\in(0,1]$ に対して広義積分

$$I_\alpha:=\int_0^1 \left(\frac{\alpha}{x}-\left[\frac{\alpha}{x}\right]\right)dx$$

$$J_\alpha:=\int_0^1 \left(\alpha\left[\frac{1}{x}\right]-\left[\frac{\alpha}{x}\right]\right)dx$$

を定める。以下の問いに答えなさい。

(1) $I_1$ は収束し、その値は

$$\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{n+1}-\log(1-\frac{1}{n+1})\right)$$

に等しいことを示しなさい。

(2) 等式 $I_\alpha=\alpha I_1-\alpha\log\alpha$ を示しなさい。

(3) $J_\alpha$ を求めなさい。

Kai

(1)

まず

$$\begin{aligned} \int_0^1\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right)&=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\frac{1}{x}-ndx\\ &=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\frac{1}{x}dx-\frac{1}{n+1}\\ &=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\log(n+1)-\log n-\frac{1}{n+1}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{n+1}-\log(1-\frac{1}{n+1})\right) \end{aligned}$$

であることがわかる。ここでテイラーの定理から、$\lim_{x\to0}f(x)=0$ なる関数 $f$ で

$$\log(1-x)=-x+\frac{1}{2}x^2+f(x)x^2$$

と表せる。よって右辺の積分は

$$\sum_{n=1}^\infty\left(\left(\frac{1}{2}+f\left(\frac{1}{n+1}\right)\right)\frac{1}{(n+1)^2}\right)$$

と表される。$f$ は $0$ のある近傍で有界であることとから、この級数は収束する。

(2)

$$\begin{aligned} I_\alpha&=\int_0^1 \left(\frac{\alpha}{x}-\left[\frac{\alpha}{x}\right]\right)dx\\ &=\alpha\int_0^{\frac{1}{\alpha}}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right)dx\\ &=\alpha\left(I_1+\int_1^{\frac{1}{\alpha}}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right)dx\right)&=\alpha(I_1-\log\alpha)\\ \end{aligned}$$

であり、これが示したかったことである。

(3)

実際に計算することで、

$$\begin{aligned} J_\alpha&=\int_0^1\alpha\left[\frac{1}{x}\right]-\left[\frac{\alpha}{x}\right]dx\\ &=I_\alpha-\alpha I_1 \\ &=-\alpha\log\alpha \end{aligned}$$

である。