東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目A 第4問

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藍色日和

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実数 に対して広義積分

を定める。以下の問いに答えなさい。

(1) は収束し、その値は

に等しいことを示しなさい。

(2) 等式 を示しなさい。

(3) を求めなさい。

Kai

(1)

まず

であることがわかる。ここでテイラーの定理から、 なる関数 で

と表せる。よって右辺の積分は

と表される。 は のある近傍で有界であることとから、この級数は収束する。

(2)

であり、これが示したかったことである。

(3)

実際に計算することで、

である。