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東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目A 第4問

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藍色日和, 祭音Myyura

Description​

実数 tt に対して [t]=⌊t⌋[t]=\lfloor t\rfloor とする。実数 α∈(0,1]\alpha\in(0,1] に対して広義積分

Iα:=∫01(αx−[αx])dxI_\alpha:=\int_0^1 \left(\frac{\alpha}{x}-\left[\frac{\alpha}{x}\right]\right)dx
Jα:=∫01(α[1x]−[αx])dxJ_\alpha:=\int_0^1 \left(\alpha\left[\frac{1}{x}\right]-\left[\frac{\alpha}{x}\right]\right)dx

を定める。以下の問いに答えなさい。

(1) I1I_1 は収束し、その値は

∑n=1∞(−1n+1−log⁡(1−1n+1))\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{n+1}-\log(1-\frac{1}{n+1})\right)

に等しいことを示しなさい。

(2) 等式 Iα=αI1−αlog⁡αI_\alpha=\alpha I_1-\alpha\log\alpha を示しなさい。

(3) JαJ_\alpha を求めなさい。

题目描述​

对实数 α∈(0,1]\alpha\in(0,1]，定义广义积分

Iα:=∫01(αx−[αx]) dx,I_\alpha:=\int_0^1\left(\frac{\alpha}{x}-\left[\frac{\alpha}{x}\right]\right)\,dx,
Jα:=∫01(α[1x]−[αx]) dx.J_\alpha:=\int_0^1\left(\alpha\left[\frac{1}{x}\right]-\left[\frac{\alpha}{x}\right]\right)\,dx.

回答下列问题。

(1) 证明 I1I_1 收敛，并且其值等于

∑n=1∞(−1n+1−log⁡(1−1n+1)).\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n+1}-\log\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\right).

(2) 证明等式

Iα=αI1−αlog⁡α.I_\alpha=\alpha I_1-\alpha\log\alpha.

(3) 求 JαJ_\alpha。

Kai​

(1)​

被積分関数は 0≤1/x−[1/x]<10\le1/x-[1/x]<1 を満たすので、00 での広義積分は収束する。まず

∫01(1x−[1x]) dx=lim⁡N→∞∑n=1N∫1n+11n(1x−n) dx=lim⁡N→∞∑n=1N(∫1n+11n1x dx−1n+1)=lim⁡N→∞∑n=1N(log⁡(n+1)−log⁡n−1n+1)=∑n=1∞(−1n+1−log⁡(1−1n+1))\begin{aligned} \int_0^1\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right)\,dx&=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\left(\frac{1}{x}-n\right)\,dx\\ &=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\left(\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}\frac{1}{x}\,dx-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\left(\log(n+1)-\log n-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{n+1}-\log(1-\frac{1}{n+1})\right) \end{aligned}

であることがわかる。ここでテイラーの定理から、lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x\to0}f(x)=0 なる関数 ff で

log⁡(1−x)=−x−12x2+f(x)x2\log(1-x)=-x-\frac{1}{2}x^2+f(x)x^2

と表せる。よって右辺の級数は

∑n=1∞((12−f(1n+1))1(n+1)2)\sum_{n=1}^\infty\left(\left(\frac{1}{2}-f\left(\frac{1}{n+1}\right)\right)\frac{1}{(n+1)^2}\right)

と表される。ff は 00 のある近傍で有界であることから、この級数は収束する。

(2)​

Iα=∫01(αx−[αx])dx=α∫01α(1x−[1x])dx=α(I1+∫11α(1x−[1x])dx)=α(I1−log⁡α)\begin{aligned} I_\alpha&=\int_0^1 \left(\frac{\alpha}{x}-\left[\frac{\alpha}{x}\right]\right)dx\\ &=\alpha\int_0^{\frac{1}{\alpha}}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right)dx\\ &=\alpha\left(I_1+\int_1^{\frac{1}{\alpha}}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right)dx\right)\\&=\alpha(I_1-\log\alpha)\\ \end{aligned}

であり、これが示したかったことである。

(3)​

実際に計算することで、

Jα=∫01(α[1x]−[αx]) dx=Iα−αI1=−αlog⁡α\begin{aligned} J_\alpha&=\int_0^1\left(\alpha\left[\frac{1}{x}\right]-\left[\frac{\alpha}{x}\right]\right)\,dx\\ &=I_\alpha-\alpha I_1 \\ &=-\alpha\log\alpha \end{aligned}

である。

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