東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2023年8月実施 専門科目A 第3問

Author

藍色日和

Description

標準的な内積の入った線型空間 を考える。以下の条件を満たす自然数 として最大のものを求めなさい。

• 任意の相異なる に対して であるような が存在する。

Kai

このような自然数を とする。まず であることを背理法で示す。条件を満たすような が存在したとする。このとき

を満たすような 全体の集合 を考える。この集合は次元 の線型空間であるから、 の元 で、 を満たすような と を満たすような が一つ以上存在するようなものを取ることができ、これを一つ固定する。いま

と置いたとき等式

が成り立つ。この元を と置いたとき

となり、内積の正定値性に矛盾する。以上から である。

次に であることを帰納法によって示す。 のときは とすればよい。次に に於いて条件を満たす が取れたとする。このとき正の実数 を

を満たすようにとり、 の元 を に対しては

と定義し、そして

と定義する。このとき は所望の条件を満たしている。

以上から である。