東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2021年8月実施 専門科目 A 第4問

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• 东京大学
• 常微分方程组
• 初值问题
• 微分中值定理

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$a,b,x_0,y_0$ を正の実数とする。正の実数を値にとる関数の組 $(x(t),y(t))$ が次の連立微分方程式の初期値問題の解であるとする：

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{dx(t)}{dt}=-ax(t)y(t) & (t>0),\\[6pt] \displaystyle \frac{dy(t)}{dt}=-by(t)+ax(t)y(t) & (t>0),\\[6pt] x(0)=x_0,\\ y(0)=y_0. \end{cases}$$

このとき以下の問いに答えよ。

(1) 極限 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}x(t)$ が存在することを示せ。

(2) 極限 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\{x(t)+y(t)\}$ と $\displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)$ が存在することを示し、極限 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)$ の値を求めよ。

(3) 任意の $t>0$ に対して、

$$y(t)-y_0=\frac{b}{a}\log\frac{x(t)}{x_0}-x(t)+x_0$$

が成り立つことを示せ。

(4) $\displaystyle\alpha=\lim_{t\to\infty}x(t)$ とおく。不等式 $\displaystyle0<\alpha<\frac{b}{a}$ が成り立つことを示せ。

题目描述

全卷共7题。A第1问、A第2问为必答题，从A第3问至A第7问中选择2题，与必答题合计作答4题。

A 第4问

设 $a,b,x_0,y_0$ 为正实数，取正实数值的函数组 $(x(t),y(t))$ 是下列常微分方程组初值问题的解：

$$\begin{cases} \displaystyle \frac{dx(t)}{dt}=-ax(t)y(t) & (t>0),\\[6pt] \displaystyle \frac{dy(t)}{dt}=-by(t)+ax(t)y(t) & (t>0),\\[6pt] x(0)=x_0,\\ y(0)=y_0. \end{cases}$$

回答下列问题。

(1) 证明极限 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}x(t)$ 存在。

(2) 证明极限 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\{x(t)+y(t)\}$ 和 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)$ 均存在，并求后者的值。

(3) 证明对任意 $t>0$，都有

$$y(t)-y_0=\frac{b}{a}\log\frac{x(t)}{x_0}-x(t)+x_0.$$

(4) 记 $\displaystyle\alpha=\lim_{t\to\infty}x(t)$。证明 $\displaystyle0<\alpha<\frac{b}{a}$。

Kai

(1)

$a,x(t),y(t)>0$ より

$$x'(t)=-ax(t)y(t)<0.$$

したがって、$x(t)$ は狭義単調減少であり、$0<x(t)\le x_0$ なので下に有界である。よって有限な極限

$$\alpha:=\lim_{t\to\infty}x(t)\ge0$$

が存在する。

(2)

$z(t)=x(t)+y(t)$ とおくと、

$$z'(t)=x'(t)+y'(t)=-by(t)<0.$$

$z(t)>0$ であるから、$z(t)$ も下に有界な単調減少関数であり、有限な極限 $\ell\ge0$ をもつ。したがって、

$$\beta:=\lim_{t\to\infty}y(t)=\ell-\alpha\ge0$$

も存在する。一方、$z'(t)=-by(t)$ を積分すると

$$\int_0^t y(s)\,ds=\frac{x_0+y_0-z(t)}{b} \le\frac{x_0+y_0}{b}.$$

もし $\beta>0$ なら、十分大きい $t$ に対して $y(t)\ge\beta/2$ となり、左辺は $t\to\infty$ で発散する。これは上の評価に矛盾する。ゆえに

$$\boxed{\lim_{t\to\infty}y(t)=0},\qquad \lim_{t\to\infty}\{x(t)+y(t)\}=\alpha.$$

(3)

$x(t)>0$ と $x'(t)=-ax(t)y(t)$ を用いると、

$$y'(t)=-by(t)-x'(t) =\frac{b}{a}\frac{x'(t)}{x(t)}-x'(t).$$

両辺を $0$ から $t$ まで積分し、初期条件を代入して

$$\begin{aligned} y(t)-y_0 &=\frac{b}{a}\bigl(\log x(t)-\log x_0\bigr)-x(t)+x_0\\ &=\boxed{\frac{b}{a}\log\frac{x(t)}{x_0}-x(t)+x_0} \end{aligned}$$

を得る。

(4)

まず $\alpha=0$ と仮定する。(3) の右辺は $t\to\infty$ で $-\infty$ に発散するが、左辺は (2) より $-y_0$ に収束する。これは矛盾なので $\alpha>0$ である。

したがって、(3) で $t\to\infty$ とすることにより

$$-y_0=\frac{b}{a}\log\frac{\alpha}{x_0}-\alpha+x_0,$$

すなわち

$$\frac{b}{a}\bigl(\log x_0-\log\alpha\bigr) =x_0-\alpha+y_0>x_0-\alpha$$

を得る。$x(t)$ が狭義単調減少であることから $\alpha<x_0$ である。平均値の定理を $\log x$ に適用すると、ある $c\in(\alpha,x_0)$ が存在して

$$\log x_0-\log\alpha=\frac{x_0-\alpha}{c}$$

となる。これを上の不等式に代入し、$x_0-\alpha>0$ で割ると

$$\frac{b}{ac}>1.$$

ゆえに $\alpha<c<b/a$ であり、

$$\boxed{0<\alpha<\frac{b}{a}}$$

が示された。

Reference

• 東京大学公式問題：令和4（2022）年度 専門科目A（PDF 3ページ、表紙に実施日）