東京大学数理科学研究科数理科学専攻 2021年8月実施専門科目 A 第3問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

実数 $a,b$ に対して、次の値を求めよ。

\int_0^\infty\frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}\,dx

全卷共7题。A第1问、A第2问为必答题，从A第3问至A第7问中选择2题，与必答题合计作答4题。

A 第3问

对于实数 $a,b$ ，求下列积分的值：

\int_0^\infty\frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}\,dx.

まず、 $x\to0$ のとき

\cos ax-\cos bx=\frac{b^2-a^2}{2}x^2+O(x^4)

なので被積分関数は原点付近で有界であり、 $x\geq1$ では絶対値が $2/x^2$ 以下である。したがって、与えられた広義積分は任意の実数 $a,b$ に対して絶対収束する。

$0<\varepsilon<R$ に対して部分積分すると、

\begin{aligned} &\int_\varepsilon^R\frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}\,dx\\ &=\left[-\frac{\cos ax-\cos bx}{x}\right]_\varepsilon^R\\ &\quad+\int_\varepsilon^R\frac{-a\sin ax+b\sin bx}{x}\,dx. \end{aligned}

ここで、原点での展開および余弦関数の有界性から

\begin{aligned} \lim_{\varepsilon\downarrow0}\frac{\cos a\varepsilon-\cos b\varepsilon}{\varepsilon}&=0,\\ \lim_{R\to\infty}\frac{\cos aR-\cos bR}{R}&=0. \end{aligned}

また、ディリクレ積分

\int_0^\infty\frac{\sin u}{u}\,du=\frac\pi2

を用いると、 $c\ne0$ に対して $u=|c|x$ と変数変換することにより

\int_0^\infty\frac{\sin cx}{x}\,dx =\operatorname{sgn}(c)\frac\pi2.

$c=0$ の場合は積分値が $0$ である。したがって、すべての実数 $a,b$ に対して

\boxed{\int_0^\infty\frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}\,dx =\frac\pi2\bigl(|b|-|a|\bigr)}.

$s>0$ に対して

F(s)=\int_0^\infty e^{-su}\frac{\sin u}{u}\,du

とおく。 $s>0$ の各点の近傍では指数関数によって可積分な上界が得られるので積分記号下で微分でき、

F'(s)=-\int_0^\infty e^{-su}\sin u\,du=-\frac{1}{1+s^2}.

$|F(s)|\leq\int_0^\infty e^{-su}\,du=1/s$ より $F(s)\to0\ (s\to\infty)$ なので、

F(s)=\int_s^\infty\frac{dv}{1+v^2}=\frac\pi2-\arctan s.

一方、 $e^{-su}/u$ は $u>0$ で単調減少し、部分積分により任意の $s\geq0$ 、 $R>0$ に対して

\left|\int_R^\infty e^{-su}\frac{\sin u}{u}\,du\right| \leq\frac{2e^{-sR}}R\leq\frac2R

が成り立つ。この一様な尾部評価と有限区間上の優収束定理から $s\downarrow0$ の極限を取ることができ、

\int_0^\infty\frac{\sin u}{u}\,du =\lim_{s\downarrow0}F(s)=\frac\pi2

を得る。