東京大学数理科学研究科数理科学専攻 2021年8月実施専門科目 A 第2問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

次の定積分の値を求めよ。

\iint_D\frac{1}{(1+x^2+y^2)^2}\,dx\,dy

ただし、積分領域 $D$ を次で定める。

D=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\mathbb R^2\;\middle|\;|x|\leq x^2+y^2\leq1\right\}

全卷共7题。A第1问、A第2问为必答题，从A第3问至A第7问中选择2题，与必答题合计作答4题。

A 第2问（必答）

求下列定积分的值：

\iint_D\frac{1}{(1+x^2+y^2)^2}\,dx\,dy.

其中，积分区域 $D$ 定义为

D=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\mathbb R^2\;\middle|\;|x|\leq x^2+y^2\leq1\right\}.

求める積分を $I$ とおく。積分領域と被積分関数はともに $x$ 軸、 $y$ 軸について対称なので、

E=D\cap\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\;\middle|\;x,y\geq0\right\}

とおけば

I=4\iint_E\frac{1}{(1+x^2+y^2)^2}\,dx\,dy.

極座標 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を用いる。原点を除けば、 $E$ の条件は

0\leq\theta\leq\frac\pi2,\qquad \cos\theta\leq r\leq1

となり、 $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$ である。原点は積分値に影響しないから、

\begin{aligned} I &=4\int_0^{\pi/2}\int_{\cos\theta}^1 \frac{r}{(1+r^2)^2}\,dr\,d\theta\\ &=4\int_0^{\pi/2}\left[-\frac{1}{2(1+r^2)}\right]_{r=\cos\theta}^{r=1}\,d\theta\\ &=2\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{1+\cos^2\theta}-\frac12\right)\,d\theta\\ &=2J-\frac\pi2, \end{aligned}

ただし

J=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{1+\cos^2\theta}

とおいた。

$t=\tan\theta$ とおくと、 $\cos^2\theta=1/(1+t^2)$ 、 $d\theta=dt/(1+t^2)$ より

\begin{aligned} J &=\int_0^\infty\frac{1}{1+\frac{1}{1+t^2}}\frac{dt}{1+t^2}\\ &=\int_0^\infty\frac{dt}{t^2+2}\\ &=\left[\frac{1}{\sqrt2}\arctan\frac{t}{\sqrt2}\right]_0^\infty =\frac{\pi}{2\sqrt2}. \end{aligned}

したがって、求める積分の値は

\boxed{I=\frac\pi{\sqrt2}-\frac\pi2=\frac{\sqrt2-1}{2}\pi}.