東京大学数理科学研究科数理科学専攻 2021年8月実施専門科目 A 第1問

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$x$ を変数とする次数 $2$ 以下の実係数多項式全体のなす実線型空間を $V$ とする。 $a,b$ を実数とし、線型写像 $S,T: V \rightarrow V$ を

S(f(x)) = \frac{d}{dx} ((ax+2)f(x)), \ T(f(x))=(bx+3) \frac{d}{dx} f(x) \ \ \ (f(x) \in V)

と定める。

(1) $S$ を対角化する $V$ の基底が存在するための $a$ に対する必要十分条件を求めよ。

(2) $S,T$ 同時に対角化する $V$ の基底が存在するための $a,b$ に対する必要十分条件を求めよ。

$V$ は3次元であり、 $1, x, x^2$ はその基底である。

\begin{aligned} \begin{pmatrix} S(1) & S(x) & S(x^2) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & 2ax+2 & 3ax^2+4x \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ 0 & 2a & 4 \\ 0 & 0 & 3a \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、 $V$ の基底 $1,x,x^2$ に関する $S$ の表現行列は

\begin{aligned} \tilde{S} &= \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ 0 & 2a & 4 \\ 0 & 0 & 3a \end{pmatrix} \end{aligned}

である。よって、 $S$ の固有値を $s$ とすると、

\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} a-s & 2 & 0 \\ 0 & 2a-s & 4 \\ 0 & 0 & 3a-s \end{pmatrix} \\ &= (a-s)(2a-s)(3a-s) \end{aligned}

である。

(i) $a \ne 0$ のときは、 $S$ には相異なる3つの固有値 $a,2a,3a$ があるので、 $S$ は対角化可能である。

(ii) $a=0$ のときは、 $S$ の固有値は $0$ のみである。 $S$ の固有値 $0$ に属する固有空間を求めるため

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、 $u=v=0$ を得るので、固有空間は1次元であることがわかる。よって、この場合は $S$ は対角化可能でない。

(i), (ii) より、求める必要十分条件は $a \ne 0$ である。

(1) と同様に考えると、 $V$ の基底 $1,x,x^2$ に関する $T$ の表現行列は

\begin{aligned} \tilde{T} &= \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 0 & b & 6 \\ 0 & 0 & 2b \end{pmatrix} \end{aligned}

であることがわかり、 $T$ の固有値を $t$ として

\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -t & 3 & 0 \\ 0 & b-t & 6 \\ 0 & 0 & 2b-t \end{pmatrix} \\ &= -t(b-t)(2b-t) \end{aligned}

であることがわかり、 $T$ が対角化可能であるための必要十分条件は $b \ne 0$ であることがわかる。

$S,T$ が同時対角化可能であるためには、 $S,T$ のそれぞれが対角化可能である必要があり、 $a \ne 0$ かつ $b \ne 0$ でなければならない。

さらに、

\begin{aligned} \tilde{S} \tilde{T} &= \begin{pmatrix} 0 & 6a & 12 \\ 0 & 2ab & 18a+4b \\ 0 & 0 & 6ab \end{pmatrix} , \\ \tilde{T} \tilde{S} &= \begin{pmatrix} 0 & 3a+2b & 12 \\ 0 & 2ab & 12a+8b \\ 0 & 0 & 6ab \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、

$\tilde{S} \tilde{T} = \tilde{T} \tilde{S}$ となるのは $3a=2b$ のときである。

以上より、求める必要十分条件は、 $a \ne 0$ かつ $3a=2b$ である。