東京大学数理科学研究科数理科学専攻 2021年8月実施専門科目 A 第1問

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を変数とする次数以下の実係数多項式全体のなす実線型空間をとする。を実数とし、線型写像を

と定める。

(1) を対角化するの基底が存在するためのに対する必要十分条件を求めよ。

(2) 同時に対角化するの基底が存在するためのに対する必要十分条件を求めよ。

は3次元であり、はその基底である。

なので、の基底に関するの表現行列は

である。よって、の固有値をとすると、

である。

(i) のときは、には相異なる3つの固有値があるので、は対角化可能である。

(ii) のときは、の固有値はのみである。の固有値に属する固有空間を求めるため

とおくと、を得るので、固有空間は1次元であることがわかる。よって、この場合はは対角化可能でない。

(i), (ii) より、求める必要十分条件はである。

(1) と同様に考えると、の基底に関するの表現行列は

であることがわかり、の固有値をとして

であることがわかり、が対角化可能であるための必要十分条件はであることがわかる。

が同時対角化可能であるためには、のそれぞれが対角化可能である必要があり、かつでなければならない。

さらに、

なので、

となるのはのときである。

以上より、求める必要十分条件は、かつである。