東京大学 数理科学研究科 数理科学専攻 2021年8月実施 専門科目 A 第1問

标签：

• 东京大学
• 可交换算子的同时对角化
• 矩阵对角化
• 多项式空间上的线性算子

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

$x$ を変数とする次数 $2$ 以下の実係数多項式全体のなす実線型空間を $V$ とする。$a,b$ を実数とし、線型写像 $S,T: V \rightarrow V$ を

$$\begin{aligned} S(f(x))&=\frac{d}{dx}\bigl((ax+2)f(x)\bigr),\\ T(f(x))&=(bx+3)\frac{d}{dx}f(x)\qquad(f(x)\in V) \end{aligned}$$

と定める。

(1) $S$ を対角化する $V$ の基底が存在するための $a$ に対する必要十分条件を求めよ。

(2) $S,T$ を同時に対角化する $V$ の基底が存在するための $a,b$ に対する必要十分条件を求めよ。

题目描述

全卷共7题。A第1问、A第2问为必答题，从A第3问至A第7问中选择2题，与必答题合计作答4题。

A 第1问（必答）

设 $V$ 为以 $x$ 为变量、次数不超过 $2$ 的全体实系数多项式组成的实线性空间。设 $a,b$ 为实数，并定义线性映射 $S,T:V\to V$：

$$\begin{aligned} S(f(x))&=\frac{d}{dx}\bigl((ax+2)f(x)\bigr),\\ T(f(x))&=(bx+3)\frac{d}{dx}f(x)\qquad(f(x)\in V). \end{aligned}$$

(1) 求关于 $a$ 的充要条件，使得存在一组能够将 $S$ 对角化的 $V$ 的基底。

(2) 求关于 $a,b$ 的充要条件，使得存在一组能够同时将 $S$ 与 $T$ 对角化的 $V$ 的基底。

Kai

(1)

$V$ は3次元であり、 $1, x, x^2$ はその基底である。

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} S(1) & S(x) & S(x^2) \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} a & 2ax+2 & 3ax^2+4x \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ 0 & 2a & 4 \\ 0 & 0 & 3a \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、 $V$ の基底 $1,x,x^2$ に関する $S$ の表現行列は

$$\begin{aligned} \tilde{S} &= \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ 0 & 2a & 4 \\ 0 & 0 & 3a \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。 よって、 $S$ の固有値を $s$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} a-s & 2 & 0 \\ 0 & 2a-s & 4 \\ 0 & 0 & 3a-s \end{pmatrix} \\ &= (a-s)(2a-s)(3a-s) \end{aligned}$$

である。

(i) $a \ne 0$ のときは、 $S$ には相異なる3つの固有値 $a,2a,3a$ があるので、 $S$ は対角化可能である。

(ii) $a=0$ のときは、 $S$ の固有値は $0$ のみである。 $S$ の固有値 $0$ に属する固有空間を求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $v=w=0$ を得るので、固有空間は1次元であることがわかる。 よって、この場合は $S$ は対角化可能でない。

(i), (ii) より、求める必要十分条件は $a \ne 0$ である。

(2)

(1) と同様に考えると、 $V$ の基底 $1,x,x^2$ に関する $T$ の表現行列は

$$\begin{aligned} \tilde{T} &= \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 0 & b & 6 \\ 0 & 0 & 2b \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であることがわかり、 $T$ の固有値を $t$ として

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -t & 3 & 0 \\ 0 & b-t & 6 \\ 0 & 0 & 2b-t \end{pmatrix} \\ &= -t(b-t)(2b-t) \end{aligned}$$

であることがわかり、 $T$ が対角化可能であるための必要十分条件は $b \ne 0$ であることがわかる。

$S,T$ が同時対角化可能であるためには、 $S,T$ のそれぞれが対角化可能である必要があり、 $a \ne 0$ かつ $b \ne 0$ でなければならない。

さらに、

$$\begin{aligned} \tilde{S} \tilde{T} &= \begin{pmatrix} 0 & 3a+2b & 12 \\ 0 & 2ab & 12a+8b \\ 0 & 0 & 6ab \end{pmatrix} , \\ \tilde{T} \tilde{S} &= \begin{pmatrix} 0 & 6a & 12 \\ 0 & 2ab & 18a+4b \\ 0 & 0 & 6ab \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、

$\tilde{S} \tilde{T} = \tilde{T} \tilde{S}$ となるのは $3a=2b$ のときである。

以上より、求める必要十分条件は、 $a \ne 0$ かつ $3a=2b$ である。

十分性は $3a=2b$ のとき $T=\frac32S-\frac{3a}{2}I$ となることからも従う。$a\ne0$ なら $S$ の固有基底はそのまま $T$ の固有基底でもある。

固有基底の具体形

$a\ne0$ のとき、$p_k(x)=(ax+2)^k$（$k=0,1,2$）とおく。次数がそれぞれ $0,1,2$ なので、$p_0,p_1,p_2$ は $V$ の基底であり、

$$S(p_k)=\frac{d}{dx}(ax+2)^{k+1}=(k+1)a\,p_k$$

が成り立つ。さらに $3a=2b$ なら $bx+3=\frac{b}{a}(ax+2)$ であるから、

$$T(p_0)=0,\qquad T(p_k)=kb\,p_k\quad(k=1,2).$$

したがって、共通の対角化基底とその表現行列は

$$\begin{aligned} \mathcal B&=\bigl(1,ax+2,(ax+2)^2\bigr),\\ [S]_{\mathcal B}&=\operatorname{diag}(a,2a,3a),\\ [T]_{\mathcal B}&=\operatorname{diag}(0,b,2b) \end{aligned}$$

で与えられる。

Reference

• 東京大学公式問題：令和4（2022）年度 専門科目A（PDF 2ページ、表紙に実施日）